§ 5. Динамическая напряженность пластины с двумя вырезами. Момент на краях и падающая волна

Рассмотрим случай, когда на краях двух одинаковых отверстий в пластине (см. рис. 7.1) задан равномерно распределенный изгибающий момент а обобщенная сила для задачи в классической постановке или крутящий момент и перерезывающая сила при использовании уточненной теории равны нулю [93]

Здесь, как и ранее, множитель опущен. Из системы (10.28), (10.37) определяем неизвестные постоянные, учитывая, что

Приближенное решение получено из конечных систем, порядок которых соответствует Это позволило удовлетворить

Рис. 10.7.

Рис. 10.8.

Рис. 10.9.

Рис. 10.10.

граничным условиям с погрешностью 5%, но в большинстве случаев она составила доли процента.

Вычисления проведены в шести равноотстоящих точках отрезка (см. рис. 7.1), а на контуре выреза — в точках для Для классической теории расстояние между центрами вырезов выбиралось в интервале в случае уточненной — При вычислениях по теории типа Тимошенко для коэффициента сдвига принимались значения

На рис. 10.7-10.22 представлены некоторые из полученных результатов. На рис. 10.11-10.22 штриховая кривая

Рис. 10.11.

Рис. 10.12.

Рис. 10.14.

Рис. 10.13.

соответствует результатам, полученным по классической теории, сплошные кривые — результатам уточненной теории Амплитуды изгибающих моментов отнесены к Результаты получены при (кроме приведенных на рис. 10.9, 10.10). Решение по уточненной теории проведено до первой критической частоты.

Рис. 10.15.

Рис. 10.16.

Рис. 10.17.

Рис. 10.18.

На рис. 10.7 -10.10 представлены результаты, полученные по классической теории. На рис. 10.7-10.16 показаны изменения в средней точке между вырезами и в точке На рис. 10.17 — 10.20 показано распределение между точками при различных значениях для (рис. 10.17, 10.18) и (рис. 10.19, 10.20). Распределение по контуру выреза амплитуды для представлено на рис. 10.21, а для на рис. 10.22.

Рис. 10.19.

Рис. 10.20.

Рис. 10.22.

Рис. 10.21.

Анализируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы: наибольшие изменения величины происходят в точке О, а в точке причем в этих точках наблюдаются наибольшие различия в результатах классической и уточненной теорий.

Значения величин изгибающих моментов изменяются в довольно широких пределах с изменением Так, наибольшее отличие для (см. рис. 10.9) от значений для составляет 36%. Для малых (см. рис. 10.7) (см. рис. 10.8)

Таблица 10.1 (см. скан)

максимальны для близко расположенных вырезов и уменьшаются с увеличением расстояния между ними. С ростом частоты это уже не наблюдается и имеют наибольшие значения для сравнительно удаленных друг от друга вырезов. При увеличении величина для всех уменьшается и не превышает значений для (см. рис. 10.12, 10.14, 10.15), а растет, превышая значения при (рис. 10.11, 10.13, 10.16).

Изменения в точке в как функций имеют сходный характер для различных и толщин пластины (см. рис. 10.11—10.16), хотя количественно отличаются значительно. Для всех графики имеют немонотонный характер и при некоторых в несколько раз превышают статические значения, т. е. для пластин также наблюдается явление «местного» резонанса. С увеличением толщины пластины максимальные сдвигаются в сторону меньших и увеличиваются по сравнению с результатами классической теории. С уменьшением расстояния между вырезами влияние толщины пластины на напряженное состояние значительно увеличивается. Распределение моментов по перемычке и по контуру с увеличением частоты имеет немонотонный характер.

Полученные результаты позволили сделать некоторые заключения об интервалах применимости классической теории. В табл. 10.1 приведены верхние пределы интервалов внутри которых результаты классической теории и теории типа Тимошенко отличаются не более чем на 5%. Для сравнения даются аналогичные результаты, заимствованные из работ [72, 120].

Перейдем к задаче дифракции плоской изгибной волны на двух одинаковых круговых отверстиях [94]. Предположим, что волна распространяется в направлении оси (см. рис. 71). В рамках классической теории ее задаем в виде

а в теории типа Тимошенко

Полное поле в пластине складывается из поля падающей волны и поля отраженных от отверстий волн. Считаем края отверстия свободными от напряжений, т. е. выполняются условия (1.66) или (10.10). Задача нахождения отраженного поля сводится к решению исходных волновых уравнений (1.69), (1.89) при следующих условиях на краях: в случае классической теории

в случае теории типа Тимошенко

где индекс обозначает, что величина принадлежит отраженному полю, а индекс «0» относится к падающей волне. Таким образом, задача для отраженного поля приведена к уже рассмотренным задачам и сводится к решению бесконечных систем (10.28) и (10.37), если положить в них

в случае классической теории и

в случае теории типа Тимошенко.

Приближенное решение для отраженного поля найдено путем решения конечных систем, порядок которых соответствует Полное решение вблизи отверстий получено сложением отраженного поля и поля падающей волны.

Напряженное состояние определялось в тех же точках и для тех же параметров, что и в предыдущей задаче. На рис. приведены некоторые количественные результаты (обозначения такие же, как и в предыдущей задаче), отнесенные к моменту в падающей волне.

На рис. 10.23 — 10.30 показано изменение в точке , а в точке (см. рис. 7.1). На рис. 10.31 — 10.34 показано распределение между точками при различных для (рис. 10.31, 10.32) и (рис. 10.33, 10.34). Распределение по контуру выреза для приведены соответственно на рис. 10.35 — 10.38 и 10.39 — 10.42. Штриховая кривая на рис. 10.23 — 10.42 соответствует результатам классической теории, сплошная — уточненной.

Для полученных количественных результатов характерны те же свойства, что и для задачи, когда на краях вырезов заданы моменты. Для момента наблюдается при некоторых явление, аналогичное полученному в задачах дифракции

Рис. 10.23.

Рис. 10.24.

Рис. 0.26.

Рис. 10.25.

продольных волн на двух полостях в упругом теле. Такое явление назвали явлением «местного резонанса». Как видно из полученных результатов, величины моментов для различных толщин пластины между собой могут значительно отличаться, особенно для больших Сравнивая полученные результаты, можно сделать заключение об интервалах применимости классической теории.

Рис. 10.27.

Рис. 10.28.

Рис. 10.30.

Рис. 10.29.

В табл. 10.2 приведены верхние пределы интервалов внутри которых результаты классической теории и теории типа Тимошенко отличаются не более, чем на 5%.