Глава 11. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ ВОЛН НА ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ПРЕПЯТСТВИИ

Данная глава посвящена исследованию напряженно-деформированного состояния в окрестности кругового цилиндрического препятствия в случае, когда действующая нагрузка (падающая волна) произвольным образом изменяется во времени. При наличии переходных процессов решение дифракционных задач существенно усложняется, так как не удается отделить временную переменную традиционным путем и приходится использовать интегральные преобразования. В последнем параграфе третьей главы изложен один из эффективных способов решения нестационарных задач. Здесь приведены наиболее существенные количественные результаты.

§ 1. Цилиндрическая полость. Осесимметричная задача

Рассматривается задача о распространении упругого импульса, обусловленного осесимметричным давлением, приложенным к контуру кругового отверстия в безграничной тонкой упругой пластине в условиях обобщенного плоского напряженного состояния. Вследствие осевой симметрии будет иметь место только радиальное смещение и, поэтому уравнение упругого движения в полярных координатах, полюс которых совпадает с центром отверстия, запишется в следующем виде:

Граничное условие имеет вид

Здесь функция Хевисайда,

Кроме того, на бесконечности возмущения должны затухать. Начальные условия — нулевые:

Задача (11.1) — для однородной изотропной пластины рассмотрена в работе [115]. Приведем решение более общей задачи [57, 58] для пластины, материал которой цилиндрически анизотропен (ось анизотропии совпадает с осью, проходящей через центр отверстия) и неоднороден: модули упругости изменяются в зависимости от радиальной координаты по степенному закону с одним и тем же показателем степени. В этом случае напряжения определяются по формулам

где

В безразмерных обозначениях

черточки над которыми в дальнейшем опущены, из соотношений (11.1), (11.4) получим уравнение для радиального смещения

К уравнению (11.6) и граничным условиям применим преобразование Лапласа по времени [48]. С учетом начальных условий в пространстве изображений получим уравнение

и граничные условия

Здесь параметр преобразования Лапласа; индекс обозначает изображение соответствующей величины.

Уравнение (11.7) сводится к уравнению Бесселя и при имеет решение

При получаем уравнение Эйлера и его решение имеет вид

Здесь функции, подлежащие определению.

Отметим, что в случае, когда плотность среды изменяется по степенному закону с произвольным вещественным показателем степени, решение задачи принципиально не отличается от полученного выше.

Рассмотрим вначале граничную задачу для Из граничных условий (11.8) имеем

Тогда, обозначив получим выражение для смещения в пространстве изображений

Задача теперь состоит в обращении выражения (11.10) относительно преобразования Лапласа. Перепишем его в следующем виде:

Для функций оригиналы приведены в третьей главе. Тогда из формулы (11.11) с помощью теоремы о свертке оригиналов [48] получим в пространстве оригиналов интегральное уравнение Вольтерра I рода относительно и

где ядро и правая часть определяются по формулам

(см. скан)

Дифференцируя (11.12) по получаем уравнение относительно и

Соответственно комбинируя (11.12) и (11.14), приходим к уравнениям

Поскольку изображением функции является функция способом, аналогичным изложенному выше, легко получить

где

Для всех полученных интегральных уравнений Вольтерра I рода (11.12), (11.14)-(11.16) ядро одно и то же. Первообразная от функции легко определяется.

Исследуем характер волнового поля, не решая первоначально интегральные уравнения. Правые части всех полученных уравнений равны нулю на интервале времени Следовательно, на этом интервале и, и, и равны нулю, что свидетельствует о волновом характере распространения возмущений. На фронте волны

Отсюда скорость движения волнового фронта

Формула (11.18) записана в безразмерных обозначениях (11.5), черточка над которыми опущена. В обычных обозначениях

Таким образом, скорость распространения волн уменьшается с ростом и в точке с радиальной координатой мгновенная скорость равна скорости распространения волн расширения в однородной среде с теми же значениями рис модулем Юнга

Очевидно, во всех полученных уравнениях нижний предел интегрирования следует заменить на

Рис. 11.1.

Подставляя в интегральные уравнения и устремляя к нулю, нетрудно получить значения на фронте волны

Полученные интегральные уравнения легко решаются численно. Для этого интервал интегрирования разбивают шагом на равных участков и на каждом из участков искомую функцию предполагают постоянной, а ядро, имеющее слабую особенность, интегрируют. В результате получают систему линейных алгебраических уравнений. Матрица этой системы треугольная, причем ее элементы в диагоналях, параллельных главной, равны друг другу, поэтому для формирования матрицы достаточно вычислить первый столбец. На рис. 11.1 показано вычисленное таким образом напряжение на контуре отверстия для значений исходных параметров:

Как известно, цилиндрические функции порядка, равного целому числу с половиной, выражаются через элементарные, Для

Рис. 11.2.

Рис. 11.3.

рассматриваемой задачи для каждой заданной пары всегда можно указать последовательность значений показателей неоднородности для которых порядок функций Бесселя

В этом случае существует возможность перехода в пространство оригиналов с помощью контурного интегрирования и методов теории вычетов [64]. Например, при для Если получим окончательные выражения для напряжений и смещение в виде

Для имеем

Рис. 11.4.

Рис. 11.5.

Если то при . В этом случае

(см. скан)

где

На рис. 11.2-11.4 показаны графики, построенные на основе формул (11.20) — (11.22). Там же приведены кривые, полученные в работе [115] для однородной изотропной среды .

Если выражение для изображения смещения имеет

Отсюда выражение для изображения скорости смещения

Для изображений типа (11.24) существует формула перехода к оригиналу

Тогда решение задачи имеет вид

(см. скан)

На рис. 11.5 показана зависимость от для

Поскольку аргумент функций Бесселя в (11. 10) при отрицателен, эти функции не принимают вещественных значений. Кроме того, при аргумент где функция имеет особенность. Определим интервал времени, в течение которого волна достигает бесконечности

Итак, при волна достигает бесконечно удаленной точки по истечении конечного интервала времени. В связи с этим в данной задаче необходимо учитывать волну, «отраженную на бесконечности». Для этого в качестве граничного условия «на бесконечности» выберем условие

имея в виду, что при материал становится жестким. Тогда выражение для изображения смещения имеет вид

Учитывая, что

получаем из (11.29) на основе предельных соотношений операционного исчисления

что соответствует статическому случаю.

Решение задачи о действии нестационарного касательного напряжения, приложенного к контуру отверстия, проводится аналогично [133].

Рис. 11.6.

Рис. 11.8.

Рис. 11.7.