§ 3. Конечная трещина. Волна сдвига

Взаимодействие волн с трещиной конечных размеров может быть исследовано в эллиптических координатах [5, 80]. Покажем, как задача дифракции антиплоской волны на конечной трещине сводится к системе дуальных интегральных уравнений [130]. Рассматриваемая трещина интерпретируется разрезом длиной вдоль оси (рис. 6.5). В постановке антиплоской задачи (§ 1 главы 1) перемещение удовлетворяет уравнению Гельмгольца, а не равные нулю напряжения определяются формулами

Падающие волны распространяются в направлении оси

Поверхность трещины свободна от напряжений

Полное волновое поле где поле отраженных волн. Поскольку антисимметрично относительно оси формулируются смешанные граничные условия на границе полуплоскости

Применяя косинус-преобразование Фурье по координате к уравнению Гельмгольца, его решение можно записать в виде

Тогда согласно (6.13) напряжения, обусловленные отраженными волнами, будут

Рис. 6.5.

Рис. 6.6.

Подставляя выражение (6.23) в соотношение (6.21), получаем систему дуальных интегральных уравнений относительно неизвестной функции

Система уравнений (6.24) сводится к интегральному уравнению стандартного типа для комплекснозначной функции где безразмерная величина, зависящая от длины трещины и волнового числа [130]. Вещественная и мнимая части функции определяются из решения системы двух интегральных уравнений. Для теории трещин наиболее важно знать напряжения вблизи конца трещины, поэтому целесообразно в первую очередь определение сингулярной части Она имеет вид

где - функция Бесселя, — значение в вершине трещины. Тогда согласно (6.23), (6.29) напряжения у вершины будут

Здесь полярные координаты с полюсом в вершине трещины.

Зависимость напряжений от и та же, что и в статическом случае. Однако величина локальных напряжений зависит еще и от значения Поэтому целесообразно определить коэффициент интенсивности напряжений таким образом, чтобы при достигалось его статическое значение Следовательно, функцию можно интерпретировать как отношение динамического коэффициента интенсивности к статическому. Модуль функции в зависимости от нормализованного волнового числа показан на рис. 6.6. При 000,95 кривая имеет максимум, где примерно на 27,5% выше, чем в статическом случае. Для малых волновых чисел динамические эффекты малозначительны. В пределе при имеем поскольку, когда длина трещины устремляется к бесконечности, получаем задачу дифракции на границе полуполости.