§ 6. Определение напряжений в теле с рядом отверстий, загруженных гармоническими нормальными или касательными усилиями

Рассмотрим бесконечную упругую пластину с рядом одинаковых круговых отверстий радиуса в которой стационарные волны возбуждаются нагрузкой в виде гармонического давления, приложенного к стенкам отверстий [21]. Предполагается, что нагрузка не изменяется вдоль оси . В этом случае на границе необходимо выполнить условия

Представляя решение в виде (7.31), после удовлетворения граничным условиям приходим к системе (7.32). Для решаемой задачи и коэффициенты разложения нагрузки в ряд Фурье имеют вид

Вследствие симметрии задачи относительно оси коэффициенты перед неизвестными с нечетными индексами равны нулю.

Для приближенного решения система заменялась конечной, порядок которой Вычисление напряжений выполнено в шести равностоящих точках перемычки (рис. 7.17). Параметры изменялись в пределах Некоторые результаты вычисления амплитуд напряжений, отнесенных к представлены на рис. На рис. 7.18, 7.19 показано распределение модуля напряжений между точками Сплошные кривые

(кликните для просмотра скана)

Рис. 7.21.

Рис. 7.22.

Рис. 7.23.

соответствуют штрихпунктирные — Анализ результатов показывает, что для длинных волн распределение напряжений качественно совпадает со статическим: наиболее высокий уровень имеют напряжения стее, причем оба напряжения монотонно убывают от к . Сближение отверстий ведет к увеличению максимальных напряжений . С уменьшением длины волны характер распределения напряжений существенно изменяется. Преобладающими по величине становятся напряжения стгг, причем максимум достигается в точке 0. Уровень напряжений при т. е. около первой точки скольжения, резко повышается, при этом как так и I стее I достигают наибольшего значения в точке О. Как уже отмечалось, для более простых задач оптики и акустики такое явление

возрастания и резкого изменения поля получило название аномалий Вуда. Как видно из представленного здесь решения, для рассматриваемой задачи, описываемой уже двумя волновыми уравнениями, также наблюдаются аномальные явления типа аномалий Вуда.

Рассмотрим задачу дифракции волн в теле с рядом круговых отверстий, к краям которых приложены касательные напряжения [44]. В этом случае граничные условия принимают вид

Учитывая, что представляем решение в виде (7.22) и приходим к системе (7.24). Приближенное решение этой системы найдено методом редукции. Амплитуды напряжений, представленные на рис. отнесены к величине Вычисления проведены в шести равноотстоящих точках перемычки Как видно на рис. 7.23, для данной задачи около точки скольжения наблюдается значительное увеличение для (рис. 7.23, а) и для (рис. Для обеих задач вычислялась относительная погрешность выполнения граничных условий. Оказалось, что для рассмотренных параметров она не превышает 5%.