§ 5. Отверстие произвольного очертания

В предыдущих параграфах настоящей главы рассмотрены задачи дифракции упругих волн на круговых отверстиях или включениях. Для тел, ограниченных круговыми цилиндрическими поверхностями, решение задачи, как это показано в главах 2, 3, получается с помощью метода разделения переменных. В случае более сложных границ разделение переменных в граничной задаче провести не удается. В связи с этим для таких тел (границ) разработаны специальные приближенные методы. В данном параграфе для исследования дифракции упругих волн на некруговых отверстиях применяется метод возмущения формы границы, изложенный в главе 3.

Рассматривается тонкая бесконечная упругая пластина, ослабленная криволинейным отверстием с контуром Гармоническая упругая волна расширения или сдвига движется по пластине и взаимодействует с отверстием. В частном случае динамическая нагрузка может быть приложена к контуру отверстия. В постановке обобщенного плоского напряженного состояния требуется найти решение уравнений Гельмгольца (4.1) относительно потенциалов и которые связаны с вектором перемещений посредством формулы (1.2). Решение должно удовлетворять граничным условиям на контуре отверстия

и условиям излучения на бесконечности.

В формуле криволинейные координаты, одна из поверхностей которых совпадает с контуром . В качестве контура рассмотрим такой, чтобы функция

конформно отображала плоскость с отверстием в виде единичного круга на плоскость с отверстием Функцию выберем в виде

Выбирая различные значения получаем различные формы отверстия Г: эллиптическое, квадратное, треугольное. Углы

Рис. 4.18.

Рис. 4.17.

при этом будут заокруглены. Например, для эллиптического отверстия с полуосями

Здесь радиус кругового отверстия, к которому близок контур Для равностороннего треугольного отверстия

На рис. 4.17 изображено треугольное отверстие, построенное с помощью функций (4.34), (4.35) для Для отверстие зеркально отображается относительно оси Для квадратного отверстия

На рис. 4.18 показано квадратное отверстие для В случае вершины квадрата располагаются на координатных осях.

Для решения граничной задачи (4.1), (4.33) применим метод возмущения формы границы, изложенный в § 4 предыдущей главы. Разложим основное напряженное состояние на контуре отверстия в ряды по параметру

и согласно процедуре метода разложим решение уравнений (4.1) и компоненты напряженно-деформированного состояния в ряды по гому же параметру (см. формулы (3.40)). Подставляя

эти разложения в уравнения (4.1) и граничные условия и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, получаем уравнения

и граничные условия

j-го приближения. При этом выражения для определяются формулами (3.42), (3.46) — (3.50).

Общее решение уравнений (4.37) в полярных координатах с учетом условий затухания на бесконечности имеет вид

Выражения (3.42) получаем следующим образом: а) через имеющие вид (3.40), определяем по формулам (2.18); б) подставляем эти выражения в формулы преобразования компонент тензора напряжений при повороте координатных осей

в) раскладываем из формул (3.39) в ряд по степеням а

и для представления в координатах используем разложение произвольной функции в ряд Маклорена по учитывая, что

В выражениях (3.42) только первые слагаемые неизвестны (остальные известны из предыдущих приближений), причем они вычисляются по тем же формулам, что и в круговых цилиндрических координатах. Таким образом, задача сведена к последовательности задач в круговых цилиндрических координатах с изменяющимися правыми частями граничных условий в каждом из приближений.

Перейдем к рассмотрению конкретных задач.