§ 5. Дискообразная трещина. Волна кручения

Рассмотрим упругое пространство, ослабленное дискообразной трещиной радиуса а, лежащей в плоскости (рис. 6.9). Волна кручения падает на трещину таким образом, что имеет место лишь угловое перемещение, которое задается формулой (стоячие волны)

Здесь и ниже множитель опущен.

Если подставить выражение (6.36) в уравнение Гельмгольца, для функции получим уравнение

где

Уравнение (6.37) есть уравнение Бесселя и его решением будет

Для того чтобы было конечным, необходимо положить Полагая получаем для перемещения и напряжения в падающей волне

Для определения потенциала отраженных волн воспользуемся интегральным преобразованием Ханкеля [3]. С этой целью домножим уравнение Гельмгольца относительно в круговых цилиндрических координатах на и проинтегрируем по от до Получим

где Решение уравнения (6.40), ограниченное имеет вид

откуда

Граничные условия состоят в отсутствии напряжения на поверхности трещины

и в условии антисимметрии

Рис. 6.9.

Рис. 6.10.

Подставляя (6.39), (6.41) в условия (6.42), (6.43), получаем систему дуальных интегральных уравнений для определения

Система уравнений (6.44) далее сводится к системе двух интегральных уравнений Фредгольма II рода [131], которые решаются на ЭВМ. Распределение напряжений в окрестности края дискообразной трещины (для чего выделяется сингулярная часть в полярных координатах (рис. 6.9)) имеет вид

где некоторая функция, зависящая от радиуса трещины и волнового числа и определяемая из системы интегральных уравнений.

Отметим, что выражения (6.45) идентичны выражениям (6.26), полученным в § 3 настоящей главы для задачи дифракции

антиплоской волны на линейной трещине конечной длины. Физическая интерпретация этого факта состоит в том, что, таким образом, в малой тороидальной области на периферии дискообразной трещины напряженное состояние аналогично состоянию в окрестности вершины конечной линейной трещины в условиях антиплоской деформации. Однако коэффициент интенсивности напряженного состояния в данном случае иной. Значение функции существенно зависит от величины На рис. 6.10 показано изменение абсолютной величины отношения динамического коэффициента интенсивности к статическому — в зависимости от безразмерного волнового а числа для (т. е. у = Р) и для Анализируя кривую, изображенную на рис. 6.10, а, видим, что в низкочастотной области динамические эффекты малозначительны; с ростом кривая поднимается вверх и при достигает максимума, который на 31% выше статического значения, а затем резко опускается. В случае динамический коэффициент интенсивности всегда ниже статистического. Расчеты показывают, что результаты для значений ограничены значениями, полученными для двух предельных случаев.