§ 4. Сферическое включение. Плоская волна

Рассмотрим нестационарное взаимодействие плоской волны расширения с жесткой сферой в безграничной упругой среде [66]. Предполагается, что плотность сферического включения

равномерна по его объему. Задача для динамически несимметричной сферы решена в работе [53].

Требуется найти решение волновых уравнений (1.3), описывающих отраженные включением волны. Граничное условие сформулируем следующим образом. Пусть вектор и обозначает движение сферы как твердого тела в направлении оси (предполагается, что падающая волна распространяется в положительном направлении оси ).

Вследствие симметрии и при

Перемещение удовлетворяет уравнению движения

где плотность включения.

Для решения задачи используется метод интегралов Фурье. Этот метод требует в первую очередь определения соответствующей функции проводимости, т. е. движения сферы под действием гармонического возмущения вида Это возмущение вызывает установившуюся реакцию где функция реакция сферы на воздействие единичной силы частоты называется «проводимостью» системы. Реакция сферы на апериодическое возмущение получается разложением на гармонические компоненты с помощью интегралов Фурье

Когда функция известна, интересующее нас неустановившееся движение под воздействием апериодического возмущения определяется как

Для того чтобы определить функцию проводимости, следует воспользоваться решением аналогичной задачи для гармонической падающей волны (см. § 2 пятой главы), согласно которому решение уравнения (12.34) будет

где А — амплитуда задающей гармонической волны,

При

при

Если воспользоваться полиномиальным представлением сферических функций Ханкеля из (12.37) получим

Далее будем рассматривать нормализованные перемещения, скорость и ускорение сферы (отнесенные соответственно к амплитуде перемещения, скорости и ускорения падающей волны)

Очевидно, что

Рассмотрим экспоненциально затухающую падающую волну расширения. Скорость частиц среды в плоскости

Спектральная функция для определяется интегралом Фурье

или в нормализованном виде

Тогда в соответствии с формулой (12.37) скорость неустановившегося движения сферы может быть определена как

Интегрирование выражения (12.40) производится с помощью теории вычетов и контурного интегрирования. Подынтегральная функция имеет пять простых полюсов (корни уравнения и полюс которые либо комплексные, либо чисто мнимые и все расположены в нижней полуплоскости [66]. Положение полюсов зависит от величин

Вычисления выполнены для значений равных 0,5; 1 и 2, и для коэффициента Пуассона 1/4.

Если то

Здесь и ниже обозначает безразмерное время, отнесенное к — фазовый угол,

При

где

При

(кликните для просмотра скана)

где

Из формул (12.41) — (12.43) следует, что движение сферы состоит из двух основных движений. Первый член в каждой формуле отражает вынужденное движение сферы под влиянием среды. Другой член выражает «свободные колебания» сферы, возникающие под действием падающего импульса. Следует отметить, что экспоненциальное затухание колебаний в чисто упругой среде связано с тем, что при колебании сферы образуются волны и энергия рассеивается в среду.

На основе уравнений (12.41) — (12.43) вычислены перемещение, скорость и ускорение сферы для значений показателя затухания .

Результаты представлены на рис. 12.6-12.11. Движению сферы соответствует сплошная кривая, движению среды — штрихпунктирная. Скорость смещения показана на рис. и видно из рис. 12.6-12.11, скорость движения сферы при почти совпадает со скоростью среды без включения по истечении отрезка времени начиная с момента начала взаимодействия. Если сфера менее плотная, чем среда требуется больше времени на то, чтобы сфера начала двигаться так же, как и невозмущенная среда. Для тяжелой сферы скорость движения растет медленнее, чем при

Смещение сферы совпадает со смещением среды по истечении отрезка времени примерно а ускорение сильно отличается от ускорения упругой среды. Даже в случае как следует из рис. 12.6, положительное ускорение сферы будет конечным, в то время как ускорение среды без включения бесконечно. Максимальные отрицательные ускорения сферы составляют для соответственно 50 и 18% отрицательного ускорения в однородной среде.

Изложенные в двух последних главах результаты указывают на своеобразие и особенности процессов нестационарного распространения волн в упругих средах, а также на несомненные трудности их решения. Нестационарные задачи дифракции упругих волн в настоящее время исследованы в значительно меньшей степени, чем задачи для установившихся волновых движений.

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)