§ 6. Двояко- и троякопериодические задачи

Развиваемый выше метод решения многосвязных задач дифракции упругих стационарных волн на нескольких или ряде сферических полостей позволяет также получить решение задач для среды со сферическими полостями, центры которых составляют плоскую (двоякопериодические задачи) или трехмерную (троякопериодические задачи) решетку. Полагают, что в этом случае условия на границах полостей одинаковы.

Рассмотрим сначала двоякопериодические задачи. С центром каждой полости связываем систему декартовых координат, которая выбирается так, чтобы оси при фиксированном находились на одной прямой. Плоскость, в которой лежат центры полостей, совпадает с координатными плоскостями Таким образом, центры полостей образуют двумерную решетку с параметрами (с—расстояние между центрами двух соседних полостей на оси -расстояние между осями -угол между линиями центров полостей).

Полагаем, что на границах полостей заданы внешние усилия В этом случае граничные условия задачи имеют вид

Решение данной дифракционной задачи представим в форме

Для вязко-упругих тел ряды и сходятся абсолютно и равномерно. Они обладают свойством периодичности и являются решением волновых уравнений (2.31) и (2.36).

Произвольные постоянные определяются из условий (8.41). Для этого решение с помощью теоремы сложения (2.40) представляется в одной из систем координат. В результате удовлетворения граничным условиям получается бесконечная система. Заменяя неизвестные способом, применяемым выше, можно показать, что для вязко-упругих тел преобразованная система имеет определитель нормального типа. Поэтому ее приближенное решение ищется методом редукции.

При решении троякопериодических задач для тела со сферическими полостями волновые потенциалы также представляются в форме (8.55), но функции имеют вид

Последующий ход решения остается таким же, как и в случае двоякопериодических задач. В коэффициенты бесконечной системы, которая получается после удовлетворения граничным условиям, входят тройные ряды. Для вязко-упругого тела, когда мнимая часть комплексных волновых чисел а и положительна, тройные ряды будут сходиться достаточно быстро.

Аналогично решаются задачи дифракции упругих волн, когда на поверхностях сферических полостей задан вектор перемещений или условия третьего рода.