§ 3. Сферические координаты. Свойства присоединенных функций Лежандра и сферических функций Бесселя

В сферических координатах (рис. 2.3) скалярное волновое уравнение Гельмгольца представляется в форме

Применив метод разделения переменных, частные однозначные решения запишем в виде

В (2.32) через обозначена одна из сферических функций Бесселя

присоединенная функция Лежандра I рода степени и порядка.

Суммируя частные решения, получаем общее

Если в формуле то представляет функцию, регулярную в области, содержащей начало координат. Если

Рис. 2.3.

то при соответствует расходящимся волнам и решение (2.34) удовлетворяет условиям излучения

Соленоидальная составляющая векторного поля удовлетворяет, как следует из (1.1) и (1.2), уравнению

Следуя методу разделения переменных, решение уравнения (2.35) можно представить в виде рядов по сферическим волновым функциям

где Представляя в виде

для потенциалов из (2.35) получаем уравнения

Решение этих уравнений аналогично решению уравнения (2.31).

Используя полную и ортогональную на сфере систему векторных функций [69], находим с учетом (1.2) и (2.36) разложение вектора перемещений по этим функциям

Сферические функции Бесселя удовлетворяют рекуррентным соотношениям

Для имеют место асимптотики

Вывод теорем сложения для сферических волновых функций базируется на разложении плоской волны по сферическим волновым функциям и на интегральном представлении последних [50]. Если две сферические системы координат и положение второй относительно первой задается координатами ее начала (полагаем, что оси параллельны и одинаково ориентированы), то теоремы сложения для скалярных и векторных функций имеют вид

Приведенные соотношения записаны для сферических гармоник ортонормированными присоединенными функциями Лежандра. Величины коэффициенты разложения произведения двух присоединенных функций Лежандра по этим же функциям прежнего аргумента. Коэффициенты разложения (2.42), (2.43) находим по формулам

причем для и для (буквы в квадратных скобках указывают на то, от какой сферической радиальной функции зависит величина, стоящая перед квадратной скобкой); нормирующий множитель функции Лежандра. Теоремы сложения для получаются из (2.42) и (2.43) перестановкой в этих соотношениях и

Для больших значений и любых имеют место следующие неравенства:

Приведем теперь формулы для компонент вектора перемещений и тензора напряжений в общем случае:

(см. скан)

Для осесимметричного случая они примут вид

Подробные сведения о сферических функциях и их свойствах приведены в монографии [7].