Глава 5. ДИФРАКЦИЯ УПРУГИХ ВОЛН НА ТЕЛАХ ВРАЩЕНИЯ
Настоящая глава посвящена изучению взаимодействия установившихся упругих волн с трехмерными препятствиями (полостями, включениями). В качестве основных видов нагрузки при вычислении напряженного состояния рассматриваются плоская и сферическая волны расширения. Рассмотрены сферические препятствия (полость, жесткое, упругое или жидкое включение), сфероидальные, а также в виде произвольного тела вращения, близкого по форме к сферическому.
§ 1. Сферическая полость. Плоская волна расширения
Безграничное упругое тело содержит сферическую полость радиуса 
Отнесем его к сферическим координатам 
(рис. 5.1) и рассмотрим задачу о действии на полость плоской волны расширения, полагая для конкретности, что волна движется в направлении оси 
Потенциал падающей волны имеет вид
где, как и ранее, А — амплитуда; 
волновое число, 
— круговая частота; 
и 
соответственно скорости распространения волн расширения и волн сдвига в упругом теле.
Падающая волна, встречая полость, порождает отраженные волны как расширения, так и сдвига. Потенциалы отраженных волн 
определяются из решения волновых уравнений (2.31), (2.36) в сферических координатах. Учитывая, что задача характеризуется осевой симметрией относительно оси 
оператор Лапласа в волновых уравнениях запишем в виде
Граничные условия на поверхности полости таковы:
Напряжения и перемещения определяются через волновые потенциалы посредством формул (2.45).
Падающая плоская волна может быть представлена в сферических координатах в виде ряда [69]
Здесь 
— сферические функции Бесселя [70]; 
полиномы Лежандра. Ниже множитель 
опущен.
Общее решение волновых уравнений, удовлетворяющее условиям излучения, может быть записано в форме
где 
сферические функции Ханкеля I рода; 
неопределенные постоянные; 
.
Подставляя (5.4), (5.5) в граничные условия (5.3) и используя ортогональность полиномов Лежандра, находим значения постоянных 
Окончательно выражения для не равных нулю компонентов напряженного состояния имеют вид [124]
Здесь
Рис. 5.1.
Рис. 5.2.
При вычислениях напряжения представляются в виде (4.10). На рис. 5.2 показано распределение напряжения 
отнесенного к напряжению 
в падающей волне, по поверхности полости для нескольких значений нормированного волнового числа 
