§ 5. Произвольное тело вращения

Как уже отмечалось, задача дифракции упругих волн на трехмерных телах решена методом разделения переменных для сферического и сфероидального тел. Для тел другой формы результаты еще не получены. В третьей главе изложен разработанный приближенный подход к решению дифракционных задач для произвольных тел, близких к сферическому, в случае произвольного волнового воздействия. В данном параграфе разработанный метод (метод «возмущения формы границы») применен к исследованию задач дифракции волн кручения на телах вращения, близких к сферическому [46]. Как уже отмечалось в

третьей главе, сущность метода заключается в том, что задача распадается на последовательные приближения и в каждом из приближений получаем задачу в сферической системе координат (которая позволяет разделить переменные) для одних и тех же уравнений, но с измененными правыми частями граничных условий.

Рассмотрим бесконечное пространство, которое имеет неоднородность в виде тела вращения, ограниченного поверхностью (см. рис. 3.5). Поверхность получена в результате вращения вокруг оси плоскости с отверстием, для которого известна конформно-отображающая функция. Введем три системы координат с центром в точке О: прямоугольную сферическую и криволинейную ортогональную , где Все координаты будем считать безразмерными, отнесенными к В плоскости отображающую функцию представим в форме

Координатная поверхность совпадает с поверхностью Координаты и угол выражаются через функцию посредством формул (3.39).

Запишем основные соотношения для волн кручения в сферической системе координат (временной множитель опущен)

Волновой потенциал определяется из уравнения

Решение уравнения (5.33) для расходящихся волн можно определить в виде

где сферическая функция Ханкеля I рода; полином Лежандра; произвольная постоянная.

Далее не будем останавливаться на источниках образования падающих волн, а рассмотрим задачи только для отраженных и излучаемых волн, так как все величины падающей волны вычисляются по формулам (5.32) через ее потенциал. Учитывая эти

обстоятельства, можно сформулировать граничные условия для тела вращения в случае первой краевой задачи

и второй

( известные функции).

Для удовлетворения граничным условиям на поверхности тела вращения, отличной от сферической, необходимо вычислить в системе координат к) компоненты и их через волновой потенциал. Следуя [31, 37,44], поступим следующим образом: представим все искомые величины в виде рядов по параметру

Из выражений (5.33) и (5.37) получим

Решение уравнения (5.38) согласно (5.34) можно записать в форме

Для определения величин получаем соотношения

В выражениях дифференциальные операторы, вид которых определен в третьей главе формулами (3.44), а для частного случая — формулами (3.46) — (3.50). Величины вычисляются по формулам (5.32) через функцию (5.39), в которой переменные формально заменены на

Разложим левые и правые части граничных условий (5.35), (5.36) в ряды по Получим

Из выражений (5.37), (5.40), (5.41) получаем граничные условия для приближения первой краевой задачи

и второй

Заметим, что функцию удовлетворяющую определенным требованиям, можно представить в виде ряда

Учитывая выражения (5.42) — (5.44), правила вычисления величин и выражения (5.32), получаем граничные условия в приближении для первой задачи

и второй

В граничных условиях (5.45), (5.46) введены обозначения

Сравнивая выражения (5.45), (5.46) с выражениями (5.35), (5.36), а также учитывая то обстоятельство, что под в (5.45), (5.46) следует понимать решение (5.39) уравнения (5.38), в котором формально заменены на приходим к выводу, что в приближении первая и вторая задачи сведены к задачам для сферической системы координат с однородными дифференциальными уравнениями и измененными правыми частями граничных условий.

Подставляя решение (3.39) в граничные условия (5.45), (5.46), определяем значения постоянных В результате получим значение компонент напряженно-деформированного состояния для первой задачи

(см. скан)

Соотношения (5.37) и (5.48) определяют решения первой граничной задачи. Заметим, что величины находим из рекуррентных соотношений

Аналогичным образом получаем формулы для определения компонент напряженно-деформированного состояния для второй задачи

(см. скан)

Соотношения (5.37), (5.50) дают решение второй граничной задачи. Величины определяются из рекуррентных соотношений

Таким образом, решение перюй и второй задач в приближении свелось соответственно к вычислению величин из рекуррентных соотношений (5.49), (5.51). Следовательно, в приближении задачи можно считать решенными, если известны операторы для -приближения, поскольку в этом случае интегралы в правых частях (5.49), (5.51) вычисляются с использованием рекуррентных соотношений для функций Лежандра. Поскольку указанные операторы известны (формулы для них приведены в третьей главе), решение задачи заканчивается.

В качестве примера рассмотрим случай, когда абсолютно жесткое тело вращения спаяно с упругим пространством и совершает малые колебания вокруг оси вращения. В этом случае имеем вторую задачу, и правые части граничных условий (5.36) в перемещениях принимают вид

Учитывая (5.31), (5.41) и (5.52), получаем правые части граничных условий приближения в следующей форме:

Подставляя выражение (5.53) в рекуррентные соотношения (5.51), получаем значения

Нулевое приближение совпадает с решением задачи о колебаниях вращения абсолютно жесткого шара в упругой среде. Из (5.51) и (5.53) после ряда преобразований в нулевом приближении получаем

Последующие приближения вычисляются с учетом вида функции Согласно (5.51), (5.53), (5.54) в первом приближении получаем

Напряжение вычисляется по формуле (5.50).

Отметим, что соотношения типа (5.49) могут быть получены и для плоской задачи.