§ 3. Применение теорем сложения для решения задач с некруговыми цилиндрическими границами

Рассмотрим некоторые случаи применения теорем сложения (2.17) волновых цилиндрических функций для решения задач дифракции волн на цилиндре произвольного поперечного сечения, а также к разделению переменных в решении итерированного волнового уравнения.

Приведем вначале решение скалярного волнового уравнения для цилиндра произвольного поперечного сечения в виде ряда с разделенными переменными [102]. Полагаем, что контур поперечного сечения цилиндра представляется кривой координатной системы которая вводится конформным отображением

Представим частное решение (2.3) для внешней задачи в системе координат в виде ряда с разделенными переменными. С этой целью отображение (3.25) представим как последовательность преобразований

Для произвольного преобразования имеют место соотношения

Учитывая (2.16), полагаем

Отсюда и из соотношений (2.3), (3.27), а также из первого соотношения (2.17) получаем

Применяя последовательно соотношения (3.19) к преобразованиям (3.26), имеем

Ряд (3.30) сходится, если выполняется условиэ

Поскольку рассматривается внешняя задача, то Следовательно, условия (3.31) выполняются.

Если нужно решать задачу для многосвязной области, ограниченной произвольными цилиндрическими поверхностями, то последовательное применение преобразований (2.17) и (3.30) дает возможность получить решение в произвольной системе координат в виде ряда с разделенными переменными. Такое построение выполнено в работе [102].

Рассмотрим применения теоремы сложения (2.17) для решений итерированных уравнений. При решении дифракционных задач возникает необходимость построения решений уравнения

При решении в круговой цилиндрической системе координат частное решение уравнения (3.32) при любом х представляется в виде

При решении задач для криволинейных цилиндрических поверхностей и для многосвязных областей возникает необходимость получить для решения (3.33) формулы, аналогичные (2.17) и (3.30) для решения (2.3). Этот вопрос исследован в работе [47], где получен также ряд других результатов по применению теоремы сложения функций кругового цилиндра к представлению решений различных уравнений в виде рядов с разделенными переменными.

Решение (3.33) представляется в виде

Из (3.34) следует, что различные представления для решения (3.33) можно получить, если имеются представления для функций Для первых функций представления имеют вид (2.17) и (3.30), для вторых их легко получить, исходя из вида преобразований (2.16) и (3.25).

Рассмотрим случай перехода к системе координат (2.16). Используя для выражения теорему сложения (2.17), а для формулы бинома Ньютона и (2.16) и подставляя их в формулу (3.34), получаем

где сочетания.

Преобразуем решение (3.33) в системе координат, которая вводится соотношениями (3.25). Заметим, что согласно (3.25)

Для выражения воспользуемся формулой (3.30), а для выражения формулой (3.36). Тогда решение (3.33) после преобразований примет вид

В многосвязной области, ограниченной криволинейными цилиндрическими поверхностями, последовательное применение преобразований (3.35) и (3.37) дает возможность получить решение в произвольной системе координат в виде ряда с разделенными переменными. Полученные результаты позволяют для цилиндра с произвольным многосвязным сечением свести задачи дифракции к бесконечным системам алгебраических уравнений, коэффициенты которых записаны в явной форме. Таким образом, для многосвязных задач имеется четыре источника появления бесконечных систем: представление решения в виде ряда с разделенными переменными; переразложение периодических функций, соответствующих различным числам, по общей системе периодических функций; применение теорем сложения для переразложения решений от одной системы координат к другой. Отметим, что число источников бесконечных систем определяет число знаков суммирования в коэффициентах бесконечных систем алгебраических уравнений.