§ 1. Круговое отверстие. Плоская волна расширения

Плоская гармоническая волна расширения с круговой частотой (о движется в безграничной тонкой упругой пластине с круговым отверстием. Встречаясь с его поверхностью, падающая волна порождает отраженные волны расширения и сдвига. Совокупное волновое поле создает напряженно-деформированное состояние окрестности отверстия. Для его определения требуется найти решение уравнений Гельмгольца [78]

при граничных условиях на поверхности отверстия

На бесконечности должны выполняться условия излучения для потенциалов отраженных волн. Здесь волновые потенциалы волн расширения и сдвига; компоненты напряженного состояния в падающей волне; компоненты напряженного состояния, обусловленного отраженными волнами; радиус отверстия; двумерный оператор Лапласа;

— скорости распространения волн расширения и сдвига в бесконечной тонкой упругой пластине. Смещения и напряжения выражаются через потенциалы формулами (2.18).

Волновой потенциал плоской волны расширения имеет вид (рис. 4.1)

Здесь волновое число; — круговая частота; длина волны.

Выражение (4.5) можно представить в полярных координатах отверстия посредством ряда [69]

где — функция Бесселя.

Рис. 4.1.

Обшее решение волновых уравнений (4.1), представляющее отраженные волны (их потенциалы удовлетворяют условиям излучения при имеет вид

Здесь неопределенные коэффициенты; — функция Ханкеля I рода.

Постоянные вычисляются из граничных условий (4.2). Суммарное волновое поле в пластине определяется потенциалами Выражения для напряжений и смещений имеют вид

Здесь

(см. скан)

Кроме того, На контуре отверстия является главным напряжением,

где

Выражение (4.9) дает возможность исследовать напряжение для длинных и коротких волн. Если длина падающей волны очень велика, то

Цилиндрические функции Ханкеля при малых значениях аргумента имеют следующее математическое представление [69]:

Тогда в формулах (4.9)

Следовательно, при очень больших длинах волн

Полученное выражение соответствует решению статической задачи. Отметим, что волновой потенциал падающей волны (4.5) обусловливает двухосное начальное напряженное состояние.

Короткие волны можно рассматривать, устремляя к бесконечности нормализованное волновое число а а. Можно убедиться, что при Физически это вполне объяснимо, ибо, когда радиус отверстия становится неограниченно большим по сравнению с длиной волны, граница отверстия приближается к плоской. В этом случае падающая волна отражается нормально, давая нулевые напряжения на поверхности.

Конкретные вычисления проводятся на базе суммирования ряда (4.9). Для напряжения получаем выражение

Действительная часть дает напряжение при в этот момент в точке напряжение в падающей волне достигает максимума. Мнимая часть дает напряжение при где период колебания в падающей волне; в этот момент напряжения, возбужденные падающей волной, равны нулю при Абсолютное значение есть максимальное главное напряжение; V — фазовый угол.

Для приведенных ниже результатов [78] в рассмотренном диапазоне частот достаточно удержания 16 членов ряда (4.9) для

Рис. 4.2.

Рис. 4.3.

Рис. 4.5.

Рис. 4.4.

достижения точности 10 5. На рис. 4.2- 4.4 показана зависимость динамического напряжения (здесь амплитуда напряжения в падающей волне) на контуре отверстия от волнового числа а а для значений коэффициента Пуассона при Графики построены для трех точек: (рис. 4.2); (рис. 4.3); (рис. 4.4).

Если рассмотреть начальное напряженное состояние в виде

и сложить его с напряженным состоянием, обусловленным падающей волной (4.6), получим суммарное начальное напряженное состояние, которое при сводится к статическому

одноосному напряженному состоянию

Следовательно, отношение есть динамический коэффициент концентрации напряжений для одноосного начального напряженного состояния. На рис. 4.5 показана его зависимость от волнового числа Как видно из рисунка, наибольшее значение коэффициента концентрации напряжений достигается примерно при и его абсолютное значение равно примерно 3,30. Отношение максимального динамического коэффициента напряжений к статическому составляет примерно 1,10.

Приведенные результаты получены для бегущей волны (4.6). Если к волне (4.5) добавить волну той же амплитуды и длины, но движущуюся в противоположном направлении, пластина будет возбуждаться стоячими волнами вида

Чтобы определить напряжение в пластине, разложим из (4.12) в ряд, содержащий только действительную часть (4.6) или четные Тогда напряжение определяется уравнением (4.9), в котором принимает только четные значения. При напряжения, обусловленные стоячими волнами, будут такими же, как и показанные на рис. 4.2.