Глава 3. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИФРАКЦИОННЫХ ЗАДАЧ

В настоящей главе изложены методы решения задач дифракции волн для односвязных и многосвязных тел, основанные на методе разделения переменных и различных его обобщениях, а также на методах теории возмущений.

§ 1. Применение метода разделения переменных

Одним из основных методов решения линейных уравнений с частными производными является метод разделения переменных, согласно которому исходное уравнение разбивается на несколько обыкновенных, содержащих по одному независимому переменному. Разделение переменных возможно лишь в некоторых криволинейных системах координат. Рассмотрим произвольную криволинейную систему координат связанную с прямоугольными координатами соотношениями [68]

Скалярное волновое уравнение

в координатах примет вид

где коэффициенты Ляме,

Для разделения переменных в уравнении (3.2) величина должна разлагаться на множители

С помощью этих соотношений уравнение (3.2) приводится к виду

Представляя функцию в форме

приходим к уравнению

Последнее уравнение можно также получить, если каждое из трех уравнений

умножить на величину и сложить, полагая, что

Величины называют постоянными разделения. Подробный вывод уравнений (3.4) рассмотрен в монографии [68]. Величины такие, что

Таким образом, уравнения (3.4) являются уравнениями с разделенными переменными. Это обыкновенные дифференциальные уравнения для определения функций Полное решение (3.2) находим с помощью формулы (3.3).

В работе [68] приведены системы координат, в которых для уравнения (3.2) можно получить уравнения (3.4) с разделенными переменными. Это прямоугольная, круговая цилиндрическая, сферическая, коническая, параболическая, эллиптическая цилиндрическая, параболическая цилиндрическая, вытянутая и сплющенная сфероидальные, эллипсоидальная и параболоидальная координатные системы.

Рассмотрим более подробно случай произвольной цилиндрической системы координат. Волновое уравнение (3.1) можно представить в виде

Отделим переменную Для этого функцию представим в виде

Проводя, как обычно, разделение переменных и вводя константу разделения, получаем уравнения для определения

Уравнение (3.7) такое же, как и в двумерном случае, если положить Таким образом, для цилиндрических систем координат переменная всегда отделяется, а для остальных переменных получаем двумерное уравнение Гельмгольца

Проведем разделение переменных в этом уравнении. Пусть криволинейные координаты связаны с координатами функцией, реализующей конформное отображение

где Для системы ортогональных криволинейных координат коэффициенты Ляме равны между собой

Уравнение представим в виде

или

Для разделения переменных в уравнении (3.8) необходимо, чтобы система координат допускала представление

или

Тогда, представляя в форме

из уравнения (3.8) получаем

Вводя константу приходим к уравнениям для определения

Следовательно, в двумерном случае и в случае цилиндрических систем координат, если выполняется условие (3.9) или (3.9), получаем уравнения с разделенными переменными (3.6) и (3.11).

Рассмотрим более подробно условие разделения переменных (3.9). Продифференцировав его по и получим условие разделения в дифференциальной форме

Переходя в последнем уравнении к дифференцированию по с учетом соотношения

получаем уравнение

Преобразуем его к виду

Вводя постоянную разделения X, приходим к уравнениям

Решением уравнений (3.12) при является

откуда постоянные. В этом случае преобразование определяет параболическую систему координат и как частный случай прямоугольную систему. При решение (3.12) представим в виде

Интегрируя его, получаем

Полученное отображение определяет эллиптическую и полярную системы координат. Только в указанных координатных системах переменные разделяются.

Если рассмотреть биполярную систему координат, задаваемую конформным отображением

то в ней переменные не разделяются. Также среди разделяющих не будет координатных систем, определяемых преобразованием

При преобразование (3.12) задает эллиптическую систему, если положить Таким образом, в биполярных координатах и координатах, определяемых преобразованием (3.12), нельзя использовать метод разделения переменных для решения задач дифракции волн на двух кругрвых препятствиях и препятствиях произвольного поперечного сечения. Нельзя также воспользоваться бисферическими координатами для решения задач дифракции волн на двух сферах. Ниже будут рассмотрены методы решения указанных задач.

В случае граничной задачи для векторного уравнения разделение переменных осуществимо лишь в прямоугольных, круговых цилиндрических и сферических координатных системах, поскольку только для этих систем переменные разделяются в граничных условиях.