§ 3. Сферический волновой источник. Особенности напряженного состояния

В случае, когда волновой источник расположен вблизи от препятствия, искривленность волнового фронта падающей волны может повлиять на характер напряженно-деформированного состояния окрестности препятствия. В предыдущей главе исследовано взаимодействие цилиндрических волн с цилиндрической полостью. В данном параграфе исследуется дифракция установившихся сферических волн на сферической полости [71]. Предполагается, что точечный источник сферической волны расположен для конкретности на оси на расстоянии от центра полости в точке (см. рис. 5.1). Потенциал излучаемой сферической волны можно представить в виде

где сферический радиус, отсчитываемый от центра источника.

Граничная задача для сферической полости формулируется точно так же, как и в предыдущем параграфе, только вместо потенциала (5.1) берется потенциал (5.16), который в сферических координатах, связанных с полостью, может быть представлен в виде ряда (временной множитель опущен)

Решение данной задачи полностью задается формулами (5.6), в которых величину необходимо заменить на

Прежде чем переходить к числовым результатам, сравним поля сферических и плоских волн на базе некоторых предельных случаев. Если рассматривать сферическую волну (5.16) в области, для которой отношение мало, то фазу можно аппроксимировать выражением

Следовательно, при потенциал (5.16), определяющий сферическую волну, сводится к виду

где величина остается по предположению конечной. Сравнивая формулы (5.1) и (5.18), замечаем, что выражение (5.18) есть потенциал плоской волны, распространяющейся вдоль оси (временной множитель опущен). Таким образом, если рассматриваемая область находится далеко от источника, наблюдатель может не обнаружить сферичность волны. Это обстоятельство подсказывает возможность аппроксимации падающих сферических волн плоскими волнами в случае, когда источник волн находится на большом расстоянии от объекта. Справедливость такого предположения исследуем на основе двух предельных переходов. Если в выражениях для компонентов напряженного состояния в падающей сферической волне осуществить предельный переход, устремив к нулю (большие относительные расстояния), получаем выражения, соответствующие напряжениям в плоской волне. Устремляя теперь со к нулю, получаем статическое двухосное напряженное состояние. Если в тех же выражениях устремить а к нулю получим напряжения, обусловленные действием статического центра расширения. Если же теперь статический центр расширения переместить в бесконечно удаленную точку получим напряженное состояние в виде суперпозиции одноосного сжатия и равномерного цилиндрического (с осью растягивающего усилия.

Различие между двумя предельными статическими напряженными состояниями показывает, что в случае низких частот сферические волны с малой кривизной велико) не могут быть аппроксимированы плоскими волнами. Для наблюдателя, находящегося на расстоянии а от точечного источника сферической волны, излучаемая источником волна может аппроксимироваться плоской, если велико отношение расстояния к длине волны

В случае действия сферической волны максимальным главным напряжением в среде без полости является напряжение Отметим, что напряжение убывает с увеличением Распределение напряжения на поверхности полости для показано на рис. 5.3, для при на рис. 5.4. Верхняя часть рис. 5.3 соответствует нижняя — Верхняя часть рис. 5.4 соответствует нижняя Сплошной линией изображено штриховой — Приведенные результаты отнесены к амплитуде напряжения

Из рис. следует, что если в случае действия плоских волн с малыми волновыми частотами распределение напряжений симметрично вблизи то в случае сферических волн при малых и больших имеет место лишь приблизительная симметрия. Вообще очаг концентрации напряжений на поверхности полости при действии сферической волны перемещается в сторону источника при приближении источника к полости. На рис. 5.5, 5.6 показано изменение концентрации напряжений в зависимости от волнового числа и отношения Значения сферического угла 8, определяющие точку поверхности полости с наибольшей концентрацией напряжений в зависимости от отношения таковы:

Как видно из рис. 5.5, 5.6, в случае плоских волн динамический коэффициент концентрации напряжений при примерно на 10% выше статического предельного значения. В случае действия сферических волн концентрация напряжений зависит как от так и от Все кривые на рис. 5.5, 5.6 имеют максимум (при и с ростом приближаются к кривой для плоских волн. Отметим, что при максимальная концентрация напряжений на 28% выше, чем в случае плоских волн.

На основании результатов, представленных на рис. 5.6, можно сделать следующий практический вывод: величина волнового числа является как бы критическим значением, выше которого сферические волны с малой кривизной можно аппроксимировать плоскими волнами. При

Рис. 5.3.

Рис. 5.4.

Рис. 5.6.

Рис. 5.5.

критическое значение Расчеты показывают, что плосковолновая аппроксимация приемлема, если длина волны меньше расстояния между источником и центром рассеивателя.