Глава 12. НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ УПРУГИХ ВОЛН НА СФЕРИЧЕСКОМ ПРЕПЯТСТВИИ

В данной главе исследуются нестационарные процессы в упругой среде со сферической полостью с помощью интегральных преобразований Лапласа и Фурье. Обращение преобразований выполняется методами теории вычетов или же специальными методами, изложенными в четвертой главе.

§ 1. Сферическая полость. Центрально-симметричная задача

Рассмотрим задачу о распространении сферически симметричных волн расширения, обусловленных скачкообразно изменяющимся во времени давлением, приложенным к поверхности сферической полости в бесконечной упругой среде. Для однородной изотропной среды такая задача рассмотрена, например, в [83]. Приведем решение более общей задачи [56], считая среду сферически анизотропной (центр анизотропии совпадает с центром полости) и неоднородной: модули упругости изменяются в зависимости от радиальной координаты по степенному закону с одним и тем же показателем степени.

Вследствие сферической симметрии имеет место только радиальное смещение, поэтому уравнение упругого движения и закон Гука в сферических координатах центр которых совпадает с центром полости радиуса а, запишутся в виде

Предполагается, что

Граничные условия имеют вид

Начальные условия нулевые.

Введем безразмерные обозначения, такие же, как и в первом параграфе предыдущей главы. Из (12.1), (12.2) получим уравнение для радиального смещения

и граничные условия

Применяя к (12.3), (12.4) преобразование Лапласа по получаем

Решение уравнения (12.5) при имеет вид

(здесь и функции, подлежащие определению). При общим решением будет выражение

где

Заметим, что в случае, когда плотность среды задается степенной функцией с произвольным показателем степени, решение задачи принципиально не отличается от рассмотренного.

Как и в случае цилиндрической полости, имеем три качественно различных случая решения задачи:

Приведем решение задачи для (остальные случаи рассматриваются так же, как и для цилиндрической полости).

пользуя граничные условия, получаем

Выберем для конкретности в качестве функции функцию Хевисайда Тогда

или Для функции представление через интеграл Лапласа приведено в третьей главе (формулы (3.76)). С их помощью строятся оригиналы функций Тогда, пользуясь теоремой о свертке оригиналов, получаем интегральное уравнение Вольтерра I рода относительно и

Аналогично получается уравнение относительно и Дифференцируя уравнение (12.10) по получаем уравнение для которое в комбинации с (12.10) позволяет записать интегральные уравнения для Ядро для всех этих уравнений общее, и его первообразная определяется элементарным интегрированием. Правые части полученных интегральных уравнений равны нулю при Это означает, что на данном интервале времени равны нулю, что определяет волновой характер решения. Поэтому в уравнении (12.10) и остальных уравнениях в качестве нижнего предела следует принять На фронте волны Тогда скорость движения волнового фронта

Рис.

Рис. 12.2.

или в обычных обозначениях

Положив в интегральных уравнениях при на волновом фронте получим

Интегральные уравнения типа (12.10) решаются численно так же, как и в § 1 одиннадцатой главы. В случае, когда порядок функций Бесселя в соотношении (12.8) равен целому числу с половиной, переход в пространство оригиналов можно осуществить с помощью контурного интегрирования. Рассмотрим пример. Пусть

Тогда Из (12.8), согласно теореме Римана — Меллина [64], получим

Подынтегральная функция удовлетворяет лемме Жордана и имеет простые полюсы Используя теорему о

вычетах, находим

На рис. 12.1, 12.2 графически изображено для различных