§ 4. Уточненная теория изгиба пластин

В случае больших толщин пластины и высоких частот классическая теория не применима. Поэтому в настоящее время получено много прикладных теорий изгиба пластины, для которых классическая теория является частным случаем. Уточненные теории строятся в основном исходя из гипотез с поведении пластин при деформировании или из уравнений движения трехмерной теории упругости. Довольно полный обзор прикладных теорий изгиба пластин проведен в работе [30]. В настоящей работе

наряду с классической применена теория изгиба пластин с учетом инерции вращения и сдвига на основе модели Тимошенко, предложенная в [87, 120]. Как показано в ряде исследований, область применимости этой теории значительно шире классической.

Теория типа Тимошенко в отличие от гипотез классической теории предполагает, что после деформации нормаль уже не будет перпендикулярной срединной поверхности, но остается прямой. В рамках этой теории перемещения описываются следующими соотношениями:

а моменты и перерезывающие силы — выражениями

Уточненные уравнения поперечных колебаний пластины, учитывающие влияние инерции вращения и деформации поперечного сдвига, имеют вид

В рассматриваемой теории необходимо задавать три граничных условия: на краю пластины должны быть заданы по одной величине из следующих трех пар: . Так, для свободной границы необходимо выполнение условий для защемленного края При свободном опирании

Исключая из системы (1.72), приходим к уравнению для прогиба

Из уравнения (1.73) как частный случай вытекает уравнение с учетом только деформации поперечного сдвига

и уравнение с учетом только инерции вращения

Если исключить в уравнениях (1.73) — (1.75) члены, учитывающие влияние инерции вращения и поперечного сдвига, то придем к уравнению (1.65).

В соотношения теории типа Тимошенко входит корректирующий множитель который называют коэффициентом сдвига. В работе [87] для него принято значение 2/3, которому равно отношение средних касательных напряжений к максимальным.

Формула для определения коэффициента сдвига в уточненной теории пластин первоначально выведена в работе [120]. Для коротких длин волн при сравнении дисперсионного уравнения трехмерной и уточненной теорий получено соотношение

Если определить из условий равенства частот при решении трехмерной задачи и в уточненной постановке в случае антисимметричной моды колебаний по толщине, то получим [120]

Это значение близко к 5/6, выведенному в случае статической уточненной теории [29].

Методом степенных рядов найдено выражение коэффициента сдвига, которое соответствует аппроксимации Тимошенко [82]

В работе [117] получено следующее выражение для коэффициента сдвига:

В случае установившихся движений, т. е. когда зависимость от времени задается множителем и отсутствует поверхностная нагрузка, уравнение (1.73) принимает вид

Уравнение (1.80) распадается на два волновых уравнения

В (1.82) учитывает инерцию вращения, влияние поперечного сдвига.

Дифференцируя первое уравнение (1.72) по а второе по и вычитая из первого второе, получаем

где

Отметим, что

Если ввести новые величины такие, что

то получим

Подставляя первое выражение (1.85) в третье уравнение (1.72) и используя (1.83), находим

Таким образом, для углов поюрота и прогиба получаем

причем удовлетворяют уравнениям

Из уравнений (1.89) следует существование в пластине трех типов волн. Как показано в [109], существует критическая частота возбуждения, равная низшей частоте колебаний пластины со сдвигом по толщине. При частотах выше критической все волновые числа вещественны, при частоте ниже критической два волновых числа будут мнимыми.