§ 10. Задачи распространения волн в цилиндре с продольными полостями. Колебания эксцентрического цилиндра

Рассмотрим цилиндр бесконечной длины с продольными полостями кругового поперечного сечения. Предполагаем, что поверхность цилиндра свободна от напряжений. Необходимо определить скорость стационарных волн, которые могут распространяться вдоль цилиндра [13].

Как следует из результатов, полученных в § 1 второй главы, разрешающими уравнениями будут три уравнения Гельмгольца

Решение этих уравнений представим в виде

Подставляя (7.49) в (7.48), получаем для

Решение уравнений (7.50) запишем в виде

Удовлетворяя граничным условиям, приходим к бесконечной однородной системе

Коэффициенты и определяется при подстановке решений (7.51) в условия на границе. В случае свободных от напряжений границ они имеют вид

(см. скан)

Коэффициенты получаются из при замене на Для исследования свойств определителя этой системы перейдем в ней к новым неизвестным

Для неизвестных из (7.52) получаем бесконечную систему в каноническом виде

(см. скан)

где определитель системы алгебраическое дополнение элемента определитель системы алгебраическое дополнение элемента Если исключить из рассмотрения случаи собственных колебаний, то определитель системы (7.57) принадлежит к классу определителей нормального типа. Система будет иметь нетривиальное решение, если ее определитель равен нулю. Приближенные значения при которых определитель системы (7.57) или (7.52) обращается в нуль, можно найти из конечного определителя.

Рассмотрим случай, когда волны в цилиндре с полостями вызываются внешним и внутренним давлением. Такой цилиндр находится в условиях плоской деформации. Решение уравнений (1.12), если положить представляется в виде (7.51), где Удовлетворяя граничным условиям, для определения неизвестных постоянных получаем бесконечную алгебраическую систему

где имеет вид (7.53) и Коэффициенты задаются формулами (7.6).

В работе [11] решена задача о колебании эксцентрического цилиндра. Предполагалось, что для материала цилиндра коэффициент Пуассона равен 0,3, а модуль упругости Волновое число (3 выражается через а по формуле а. Независимые параметры изменялись в пределах Интервал изменения выбран таким, чтобы частота была меньше первой собственной частоты цилиндра. Напряжения и сгее вычисляли в шести равностоящих точках перемычки и (рис. 7.39). Результаты отнесены либо к внешнему, либо к внутреннему задаваемому давлению.

На рис. 7.40-7.43 показаны кривые, характеризующие изменение напряжений в точках и в зависимости от Кривым на рис. соответствует внутреннее давление, а кривым на рис. внешнее. Как видно из рис. 7.40- 7.43, при некоторой частоте амплитуда в точке С принимает

(кликните для просмотра скана)

Рис. 7.42.

Рис. 7.43.

локальный минимум, а в точке локальный максимум. Эти местные отклонения тем существенней, чем тонкостеннее цилиндр. Отмеченное явление не обнаружено для концентрического цилиндра и относится к разряду местных резонансов, обусловленных наличием тонкой части в сечении цилиндра.