§ 4. Задачи дифракции изгибных волн на нескольких круговых вырезах
Рассмотрим бесконечную пластину с 
несоприкасающимися вырезами круглой формы радиуса 
. С каждым вырезом свяжем систему полярных координат 
центр которой совпадает с центром выреза. Решим задачу в классической постановке. Необходимо решить уравнения (1.69) в каждой из выбранных систем координат; полное решение получается как сумма этих решений. На краях вырезов зададим следующие условия:
Полный прогиб представим в виде 
Используя теорему сложения, запишем прогиб (10.25) в одной из систем координат 
где
Раскладывая величины, задаваемые на границе, в ряды Фурье, после удовлетворения условиям (10.24) приходим для определения неизвестных постоянных к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений
В (10.28) приняты обозначения (10.5).
Исследуем полученную систему. Заменим в ней неизвестные по формулам
Тогда система (10.28) примет канонический вид
Здесь через 
обозначен определитель системы (10.29). Используя асимптотические представления цилиндрических функций (2.11), (2.12), (2.15), (2.16), при 
для величин 
получаем оценку
Докажем сходимость ряда
(
— постоянные). Последний ряд в (10.32) сходится так как 
следовательно, будет сходиться и ряд 
А это доказывает, что система (10.30) имеет определитель нормального типа. Если ряд, составленный из свободных членов, сходится, то система имеет единственное ограниченное решение в силу того, что ее определитель не может равняться нулю, так как это соответствовало бы возможности существования в пластине расходящихся от вырезов волн при отсутствии источника возбуждения. Приближенное решение может быть найдено методом редукции.
Рассмотрим решение в уточненной постановке, которое сводится к решению уравнений (1.89) при следующих условиях на краях отверстий:
Решение (1.89) представим в виде
С помощью теоремы сложения (2.17) преобразуем решение (10.34) к координатам одного из отверстий
Удовлетворив условиям (10.33), получим бесконечную алгебраическую систему
Значения коэффициентов в (10.37) задаются формулой (10.9). Исследуем систему (10.37). С помощью замены неизвестных
система преобразуется к каноническому виду
где 
определитель системы (10.38), 
— алгебраическое дополнение элемента 
определителя 
Используя формулы (2.11), (2.12), (2.15) и (2.16), получаем оценку
Рассмотрим сходимость ряда
Последний ряд сходится в силу того, что 
Из этого можно вывести, что система (10.39) имеет нормальный определитель и ее приближенное решение находится с помощью метода редукции.
Эти же задачи в работах [127, 128] решены методом многократных отражений, который, как показано в [96], является частным случаем применяемого здесь метода и сводится к решению бесконечных систем (10.37), (10.39) методом последовательных приближений.
