§ 6. Дифракция волн кручения на сферических полостях в полупространстве

Рассмотрим упругое полупространство несоприкасающимися сферическими полостями, центры которых расположены на оси Пусть на поверхностях полостей действует внешняя нагрузка, зависимость которой от времени задается множителем Условие на плоской границе считаем однородным [16].

На плоской поверхности тела граничное условие запишем в цилиндрических координатах . В этих координатах состоянию кручения соответствует такое напряженное состояние, когда отличными от нуля являются лишь перемещение и напряжения и В силу того, что перемещение в цилиндрических и сферических координатах есть перемещение точек в одном и том же направлении, выразим напряжения в сферических координатах. Согласно закону Гука,

откуда в сферических координатах

Полагаем, что на плоской границе задано условие

Если то плоская граница свободна от напряжений. Когда край неподвижно закреплен.

Для решения задачи введем системы сферических координат так, чтобы полюсы совпадали с центрами полостей, а полюсы были зеркальным отображением в плоскости Сферические координаты в системах обозначим через

Решение задачи представим в виде

Постоянные выбираем таким образом, чтобы удовлетворяло условию (9.43). Считая, что выражение вычислим в сферических координатах. Получим

Воспользовавшись выражениями

(штрихи обозначают производную по аргументу), приходим к следующему равенству: 00

Учитывая, что для точки в плоскости выполняются условия

и используя (9.47), получаем развернутое выражение условия (9.43)

Равенство (9.48) будет выполняться, если

В случае, когда или соотношение (9.49) значительно упрощается. Так, для а для

Используя теорему сложения сферических функций (2.40), перейдем в (9.44) к координатам

После удовлетворения условиям на сферических полостях, для определения неизвестных постоянных получаем бесконечную систему алгебраических уравнений

Уравнения (9.51) вместе с соотношениями (9.49) образуют замкнутую бесконечную систему алгебраических уравнений с неизвестными В (9.51) введены обозначения

В случаях, когда или полученная бесконечная система приводится к системе нормального типа.

В общем случае смешанных условий на плоской поверхности тела приближенное решение задачи может быть найдено, если в решении (9.44) оставить конечное число членов.

Можно рассмотреть также задачи дифракции волн кручения в слое со сферическими полостями, когда на его плоских границах заданы однородные условия. В этом случае решение аналогично решению, проведенному для задачи дифракции волн сдвига в слое с цилиндрическими полостями.