§ 8. Напряженное состояние пластины с рядом круговых отверстий. Момент на краях и падающая волна

Рассмотрим случай, когда на краях отверстий задан равномерно распределенный изгибающий момент [45]

а остальные величины, входящие в граничные условия, и сдвиг по фазе для соседних вырезов равны нулю. Учитывая, что

из решения систем (10.48) и (10.57) находим неизвестные постоянные для всех значений параметров, входящих в системы за исключением точек скольжения. После определения неизвестных постоянных по формулам (10.45) или (10.55) определяем прогиб или потенциалы, а затем величины напряженного состояния.

Вычисления проведены для частот меньше критической. Приближенное решение бесконечных систем получено из конечных, порядок которых соответствует Для проверки точности решений в точках (классическая теория) и (теория типа Тимошенко, ) проводились вычисления величин, задаваемых на краях вырезов, непосредственно по формулам (10.42) или (10.54). Как следует из вычислений, ошибка удовлетворения граничным условиям не превышает 3%. Для других значений сравнивали результаты различных приближений. Разница между ними не превышает разницу в проверенных точках.

В шести равноотстоящих точках перемычки (см. рис. 7.17) для волновых чисел проведены вычисления амплитуд моментов По контуру вырезов вычислялась амплитуда изгибающего момента для При вычислениях в рамках теории типа Тимошенко для коэффициента сдвига принималось значение Коэффициент Пуассона выбирался равным 0,3.

На рис. 10.47-10.62 представлены некоторые из полученных результатов. Штриховые кривые соответствуют результатам, полученным в классической теории. Все приведенные результаты вычислены для пластины, у которой расстояния между вырезами и отнесены к

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

На рис. 10.47, 10.48 показано изменение амплитуды момента в точке в точке как функций волнового числа на рис. 10.49, 10.50 — распределение между точками при различных На рис. 10.51 — 10.58 представлено распределение на отрезке перемычек вблизи первой и второй точек скольжения. Распределение амплитуды по контуру выреза показано на рис. 10.59-10.62.

Из полученных результатов следует:

как в более простых дифракционных задачах на периодических структурах для электромагнитных [49, 135, 136] и для упругих волн (см. седьмую главу), так и в задачах дифракции изгибных волн в бесконечных пластинах с рядом вырезов наблюдаются аномалии Вуда вблизи точек скольжения, заключающиеся в резком изменении волнового поля при прохождении этих точек;

для всех толщин пластин изменения, происходящие вблизи точек скольжения, качественно одинаковы;

при прохождении точек скольжения распределение моментов претерпевает, как правило, значительные изменения.

Рассмотрим задачу дифракции плоской изгибной волны на ряде одинаковых круговых отверстий [95]. Пусть плоская волна распространяется нормально линии центров отверстий. Полагаем, что края отверстий свободны от напряжений. Задача для отраженного поля сводится к решению уравнений классической теории (1.69) при условиях (10.40) и уравнений теории типа Тимошенко (1.89) с граничными условиями (10.41). В результате решения получаются бесконечные системы (10.48) и (10.57), в которых

для классической теории и

для теории типа Тимошенко.

Полное поле определяется как сумма поля падающей волны и поля отраженных от отверстий волн. Вычисления проведены в тех же точках и для тех же параметров, что и в предыдущей задаче. Полученные количественные результаты отнесены к моменту в падающей волне (рис. 10.63-10.78) (обозначения те же, что и на рис. 10.47-10.62). Штриховая кривая соответствует результатам классической теории, сплошная — уточненной.

На рис. 10.63, 10.64 показаны изменения в точке в точке в зависимости от На рис. 10.65, 10.66 представлено распределение на отрезке перемычки для различных значений волнового числа и толщины пластины. Распределение по перемычке вблизи первой и второй точек скольжения приведено на рис. 10.67-10.74.

(кликните для просмотра скана)

Рис. 10.67.

Рис. 10.68.

Рис. 10.69.

Рис. 10.70.

Рис. 10.71.

Рис. 10.72.

Рис. 10.73.

Рис. 10.74.

Амплитуда изгибающего момента на краях вырезов для различных показана на рис. 10.75-10.78.

Полученные количественные результаты свидетельствуют о том, что наблюдаются аномальные изменения напряженного поля, возникают аномалии типа Вуда. Это явление имеет место в задачах оптики и акустики, а также в задачах, рассмотренных в седьмой главе.

Сравнение с результатами решения предыдущей задачи показывает, что для различных граничных задач дифракции изгибных волн на ряде одинаковых круговых вырезов изменения,

Рис. 10.75

Рис. 10.76.

Рис. 10.77.

Рис. 10.78.

происходящие около соответствующих точек скольжения, имеют сходный характер. Это говорит о том, что особенности поведения волнового поля вблизи точек скольжения зависят от геометрии области, а не от вида возбуждения.