§ 5. Приближенные методы решения для тел с границами, близкими к сферическим

В настоящее время основные результаты по установившейся дифракции волн на конечных телах вращения получены, в основном, в сферической системе координат. В сферических координатах переменные разделяются для скалярного и векторного волновых уравнений, и полные на сферических поверхностях ортогональные системы волновых функций не зависят от волнового числа. Это дает возможность получить точное решение

граничной задачи дифракции упругих волн. Для тел вращения, отличных от сферы, разделить переменные в уравнениях упругих волн не удается. Изложим приближенный метод решения линейных задач стационарной дифракции упругих волн на произвольном гладком теле вращения [39]. Метод основан на варианте метода «возмущения формы границы», предложенном в работе [37] для трехмерных задач механики сплошной среды в случае тел вращения. Сущность метода состоит в том, что получается последовательность краевых задач в сферической системе координат, причем в каждом приближении однородные уравнения одного и того же вида, решения которых в сферической системе координат известны, а поправки входят только в правые части граничных условий и определяются из предыдущих приближений. Это избавляет от необходимости вычислять частные решения, что практически не всегда легко сделать. Отметим, что для тел вращения можно составить бесконечные системы алгебраических уравнений, используя решение волновых уравнений в сферической системе координат и удовлетворяя граничным условиям на поверхности вращения, для чего можно потребовать их ортогональность полным ортогональным системам функций на этих поверхностях или применить ряд других известных методов. Все же коэффициенты бесконечных систем, найденные таким способом, будут выражаться через интегралы от специальных функций сложным образом, что вызывает затруднения при вычислениях.

Рассмотрим безграничную упругую среду, содержащую неоднородность (полость, включение) в виде тела вращения, ограниченного поверхностью (рис. 3.3). Поверхность получена в результате вращения вокруг оси плоскости с отверстием, для которой известна отображающая функция. Введем три безразмерные, отнесенные к системы координат с центром в точке О: прямоугольную сферическую и ортогональную криволинейную причем а поверхность совпадает с поверхностью . В плоскости отображающая функция имеет вид

Потребуем, чтобы функция удовлетворяла условиям взаимнооднозначного соответствия.

Из соотношений (3.50) следует связь между системами координат

Рис. 3.3.

Выбирая различные виды функции получаем различную форму поверхности

Как показано в главах 1, 2, в сферической системе координат волновое поле описывается тремя скалярными волновыми функциями удовлетворяющими уравнениям (2.31), (2.35). В случае осесимметричной задачи и отличными от нуля будут перемещения и напряжения в случае волн кручения и отличными от нуля будут

Для удобства в формулах (2.45) дифференциальные операторы в правой части обозначим следующим образом:

Нижние индексы дифференциальных операторов указывают, по каким переменным производится дифференцирование. Ниже под будем понимать выражения (3.53), в которых переменные заменены на не по формулам (3.52), а формально.

Для удовлетворения граничным условиям на поверхности вращения необходимо знать составляющие тензора напряжений и (или) вектора перемещений. Введем для них обозначения

Следуя работам [31, 37], величины (3.54) и волновые потенциалы представим в виде рядов

Учитывая выражения (3.52), а также формулы преобразования компонент тензоров и векторов при повороте системы координат на угол получаем соотношения для составляющих тензора напряжений

и для составляющих вектора перемещений

Из волновых уравнений и второй строки соотношений (3.55) получаем

В формулах (3.56), (3.57) через обозначены дифференциальные операторы по переменным и 7; вид операторов определяется функцией в (3.51). Величины определяются, как было условлено выше, через потенциалы с индексом по выражениям (3.53), если в них формально заменить на и в потенциалах поставить индекс Напряжения определяются по формулам (3.56), если в последних заменить на Перемещение определяется по последней из формул (3.56), если в ней заменить на и

Для произвольного приближения дифференциальные операторы определяются формулами (3.44), (3.45).

Рассмотрим процедуру решения краевых задач, предполагая, что правые части граничных условий разложены также в ряды по Из (3.58) следует, что уравнения в каждом из приближений совпадают с уравнениями в сферической системе координат. Учитывая, что вторые слагаемые правых частей (3.56), (3.57) определены из предыдущих приближений, получаем, что в каждом приближении необходимо удовлетворять граничным условиям как бы в сферической системе координат, когда правые части граничных условий будут изменены, поскольку, например, получено из формальной заменой на Таким образом, задача дифракции на конечных телах вращения сведена к последовательности задач дифракции на сферических телах с изменяющимися граничными условиями в каждом из приближений при одинаковых однородных уравнениях во всех приближениях. При этом выражения для операторов полностью совпадают с выражениями (3.46) — (3.50).