§ 4. Приближенные методы решения для тел с некруговыми цилиндрическими границами

В задачах установившейся дифракции упругих волн точные решения получают только в круговой цилиндрической и сферической системах координат (см. § 1 настоящей главы). Этим исчерпываются возможности метода разделения переменных в его классической формулировке применительно к задачам дифракции для тел, ограниченных цилиндрическими поверхностями. Для тел, ограниченных достаточно гладкими цилиндрическими поверхностями, в предыдущем параграфе решение задачи дифракции сведено к решению бесконечных алгебраических уравнений. Большинство числовых результатов [59—62] получено с помощью приближенного метода «возмущения формы границы», предложенного в работе [31]. Заметим, что метод применяется для приближенного вычисления компонентов тензоров, векторов и скаляров различной физической природы в криволинейной цилиндрической системе координат. Сущность метода состоит в получении последовательности краевых задач в цилиндрической системе координат, причем в каждом приближении решаются в круговых координатах одинаковые однородные уравнения, а поправки входят в краевые части граничных условий. Тем самым исключается необходимость построения частных решений, что далеко не всегда удается реализовать.

Изложим метод «возмущение формы границы» в применении его к задачам дифракции упругих волн для тел с некруговыми цилиндрическими границами.

Рассмотрим безграничное упругое трехмерное тело, содержащее неоднородность (полость, включение) в виде некруговой цилиндрической поверхности с осью Введем три

Рис. 3.2.

безразмерные, отнесенные к системы координат: прямоугольную круговую цилиндрическую и криволинейную цилиндрическую Обозначим через угол между и -линиями. Отображающая функция в плоскости имеет вид (рис. 3.2)

Потребуем, чтобы функция удовлетворяла условиям взаимнооднозначного соответствия. Связь между координатными системами а также угол задаются следующими формулами:

Примем, что координатная поверхность совпадает с поверхностью раздела.

При исследовании установившихся волновых движений в круговых цилиндрических координатах, как следует из глав 1, 2, требуется найти решение волновых уравнений (1.8) относительно потенциалов которые связаны с вектором перемещений посредством формулы (1.2). Компоненты вектора перемещений и тензора напряжений можно на основании соотношений (1.2), (1.5), (1.7) выразить через волновые потенциалы. Запишем эти соотношения в виде дифференциальных операторов

Здесь волновые функции, введенные формулами (2.7), (2.9) и удовлетворяющие уравнению (2.10). Нижние индексы операторов указывают, по каким переменным производится дифференцирование. В квадратных скобках указаны потенциалы и их аргументы, по которым производится дифференцирование. Ниже под будем понимать выражения (3.40), в которых формально, а не по формулам (3.38), переменные и заменены на Напряжения и компоненты вектора перемещений в криволинейной системе координат обозначим через Разложим эти величины в ряды по степеням

Подставляя выражения (3.40) в уравнения Гельмгольца (2.1), находим

Учитывая соотношения также формулы для преобразования компонентов тензоров и векторов при повороте системы координат на угол получаем формулы для

и

В выражениях (3.42), (3.43) - дифференциальные операторы по переменным , вид которых определяется видом функции Величины находятся из выражений (3.40) через потенциалы с верхним индексом если в полученных выражениях формально заменить на . Укажем, что величины можно найти по формулам (3.43), если в них заменить соответственно на по выражению для если заменить на и. Отметим, что напряжение вычисляется как скалярная величина.

Для произвольного приближения дифференциальные операторы определяются по формулам, полученным в общем случае в работе [73]

Здесь дифференциальные операторы, определяемые по рекуррентным формулам

причем

Остальные величины в выражениях (3.44) имеют вид

Предположив, что правые части граничных условий также разложены в ряды по рассмотрим процедуру решения краевых задач. Из уравнений (2.1), (2.10), (3.41) следует, что в каждом из приближений получаем соотношения, по форме совпадающие с уравнениями в круговых цилиндрических координатах. На основании выражений (3.42), (3.43) можно заключить, что в каждом из приближений в левых частях граничных условий только первые слагаемые являются неизвестными (вторые известны из предыдущих приближений), причем первые слагаемые вычисляются по таким же формулам, что и в круговых цилиндрических координатах. В таком смысле можно говорить, что задачи в некруговых цилиндрических координатах сведены к последовательности задач в круговых цилиндрических координатах при одинаковых однородных уравнениях во всех приближениях и с изменяющимися правыми частями граничных условий в каждом из приближений.

В заключение приведем конкретный вид дифференциальных операторов для четырех приближений. Для нулевого приближения

Для первого приближения

(см. скан)

(см. скан)

Используя операторы (3.46) — (3.49), можно получить решение задачи дифракции установившихся упругих волн в некруговых цилиндрических координатах с учетом четырех приближений (нулевого, первого, второго и третьего), когда некруговые цилиндрические координаты вводятся отображающей функцией (3.38).

В четвертой главе на базе изложенного метода будет решен ряд конкретных задач.