§ 6. Числовые результаты для эллиптического, квадратного и треугольного отверстий. Анализ напряженного состояния

К контуру отверстия в бесконечной пластине приложено равномерное гармонически изменяющееся во времени давление [59]

Требуется определить напряженное состояние пластины. Если круговое отверстие, имеет место осевая симметрия, переменные разделяются и задача легко решается. В случае криволинейного отверстия симметрия отсутствует, в расходящемся волновом поле участвуют волны как расширения, так и сдвига.

Введем безразмерные обозначения, которые используем в данном параграфе

(далее черточка над обозначениями опущена). В новых обозначениях граничная задача имеет вид

Множитель опускается.

Из (4.45) следуют граничные условия для последовательных приближений

Выражения для напряжений получены в виде

где, как и ранее, напряжение в начале периода напряжение в момент времени период колебаний величина максимальное напряжение.

Вычисления проводились с точностью до На рис. 4.19 показано изменение вдоль оси для эллиптического отверстия с что соответствует отношению полуосей для значений безразмерной частоты На рис. 4.20, 4.21 показано изменение вдоль оси для треугольного и квадратного отверстий. Для сравнения на рис. 4.22 приведены результаты для кругового отверстия при тех же значениях частоты.

Как видно из рис. 4.20 — 4.22, криволинейность отверстия больше сказывается на значениях вблизи контура. При удалении от него различие в форме отверстий проявляется слабее.

На рис. 4.23 построена зависимость от частоты на контуре эллиптического отверстия в точках на рис. 4.24 — зависимость от частоты для квадратного отверстия в точках (посредине стороны квадрата) и (в вершине угла). На рис. 4.25 показано изменение для треугольного отверстия в точках (посредине стороны) и (в вершине угла).

Из приведенных зависимостей следует, что при некоторых значениях частоты, лежащих в пределах от 0,4 до 1,2, напряжение превышает статическое значение Максимальное превышение составляет около 15%.

В сходимости последовательных приближений можно убедиться из табл. 4.1, построенной для значений частоты, при которой имеет место наибольшее значение

Таблица 4.1 (см. скан)

(кликните для просмотра скана)

Рассмотрим задачу о действии плоской упругой гармонической волны на криволинейное отверстие с контуром В безразмерных обозначениях (4.43) потенциал плоской волны расширения имеет вид

Потенциалу (4.47) соответствуют напряжения

Разложение плоской волны в полярных координатах имеет вид

Граничные условия на контуре отверстия таковы:

где напряжения, порожденные отраженными волнами. Следуя методу возмущения формы границы, основное напряженное состояние на разложим в ряды по

(см. скан)

Здесь

(см. скан)

Используя выражения (3.42), (4.39), (4.50), находим условия для определения постоянных в общем решении (4.39).

Окончательно выражения для напряжений получаем в виде (4.46).

Числовые результаты для конкретных отверстий получены с точностью до [61]. На рис. 4.26 приведены вещественное, мнимое и максимальное значения напряжения на контуре эллиптического отверстия с в точке На рис. 4.27 показано распределение напряжения по контуру отверстия для нескольких значений частоты. При вычислениях ряд (4.39) обрывался на Коэффициент Пуассона равен 0,28.

Как следует из рис. 4.27, в некотором диапазоне безразмерных частот напряжение больше напряжения в статическом случае. При что на 10,8% больше статического значения, равного 3,720. С ростом со концентрация напряжений уменьшается. Если в выражении для устремить со к нулю и воспользоваться асимптотическим представлением цилиндрических функций малого аргумента, получим формулу, совпадающую с разложением по точного решения статической задачи. Сходимость последовательных приближений иллюстрируется результатами, приведенными в табл. 4.2 для

Таблица 4.2 (см. скан)

Решение задачи о действии плоской волны расширения на квадратное отверстие с иллюстрируется рис. Коэффициент Пуассона равен 0,28. На рис. 4.28 показано изменение напряжения в зависимости от со в точке для отверстия с на рис. 4.29 — в точках для . Распределение напряжения по контуру отверстия для нескольких значений частоты показано на рис. 4.30. При вычислениях ряд (4.39) обрывался на

Из представленных результатов следует, что при некоторых значениях частоты имеет место повышение напряжения Сходимость последовательных приближений показана в табл. 4.3 для

Таблица 4.3 (см. скан)

(кликните для просмотра скана)

Рассмотрим задачу о действии плоской гармонической волны сдвига на криволинейное отверстие. Напряжение в падающей волне в обозначениях (4.43) имеет вид

На контуре отверстия должны выполняться граничные условия (4.49). Разложение по основного напряженного состояния на представляется формулами [62]

(см. скан)

Величины определяются формулами (4.51), в которых со? заменено на а множители опущены.

На рис. 4.31, 4.32 приведены числовые результаты для квадратного отверстия с в точках в зависимости от Ряд (4.39) обрывался при Коэффициент Пуассона

Рис. 4.31.

Рис. 4.32.

Как видно из рис. 4.31, 4.32, при некоторых значениях напряжение превышает статическое значение. Так, в точке при а в точке при тогда как в случае точного статического решения в обеих точках Отметим, что значение получено с помощью приближенного метода, используемого в настоящей работе.