§ 9. Напряжения, возникающие при падении плоской волны расширения на ряд включений

Пусть имеется неограниченное тело, содержащее ряд круговых цилиндрических включений радиуса несоприкасающихся между собой, равноудаленных друг от друга на расстояние На включения под углом у к линии их центров падает плоская продольная волна.

Представляем решение для отраженного поля в виде (7.31), а для поля во включениях в форме (7.17). Удовлетворяя условиям контакта (7.13) и заменяя постоянные по формулам

приходим к бесконечной системе

В (7.47) . Коэффициенты задаются формулами

Выражения для получаются при замене в на

Приводя систему (7.47) к каноническому виду, нетрудно показать, что ее приближенное решение может быть получено методом редукции для всех значений параметров, входящих в систему, если только не выполняется условие

Для случая нормального линии центров падения волны для различных материалов включений получены количественные

Рис. 7.35.

Рис. 7.36.

Рис. 7.38.

Рис. 7.37.

результаты. Полученные амплитуды напряжений отнесены к Вычисления выполнены для тех же точек тела, что и в предыдущей задаче. Наибольший порядок системы, полученной из (7.47), соответствует Диапазон волновых чисел — с шагом . Во всех вычисленных случаях для матрицы выбрано (а — произвольное число). Отношение плотностей Точность вычислений проверялась сравнением результатов различных приближений. Максимальная разница в напряжениях не превышает 2,1%.

Зависимости амплитуд напряжений от показаны на рис. 7.35-7.38. Кривые 1 соответствуют случаю свободных отверстий, кривые 5 — случаю абсолютно жестких фиксированных в пространстве включений. Результаты для тела с включениями, у которых коэффициенты Ляме и равны , даны кривыми соответственно 2—4. Параметры материалов, для которых получены кривые 4, близки к параметрам некоторых применяемых стеклопластиков.

На рис. 7.35 приведены амплитуды напряжений в точке О. Для этой же точки на рис. 7.36 показано изменение На рис. 7.37 и 7.38 даны максимальные напряжения в матрице на линии контакта матрицы и включения.

Для малых в точке тем больше, чем больше жесткость материала включений. Амплитуда напряжений в точке О для малых частот наибольшая для отверстий. Для упругих включений близко к значениям в падающей волне. С ростом для жестких включений перед второй точкой скольжения наблюдается увеличение

Распределение на линии контакта немонотонное. Наибольшие напряжения чаще всего появляются либо около либо

Максимальные возникают в точке Лишь для отверстий и мягких включений наибольшие появляются внутри перемычки. В большинстве случаев составляет в падающей волне. Около первой точки скольжения для значительно увеличивается и достигает величины 1,6 — 1,8. Для жестких включений наблюдается еще один подъем касательных напряжений около Напряжения внутри включений, как правило, меньше напряжений на краях.

Отметим также, что на картину напряженного состояния в упругом теле влияют упругие свойства включений. Для упругих включений аномальные явления в окрестности точек скольжения выражены слабее, чем в случае отверстий или абсолютно жестких включений.