§ 6. О методах решения нестационарных задач. Сведение к интегральному уравнению Вольтерра

Для нестационарных задач дифракции метод разделения переменных в полном виде неприменим, поскольку отделить временную переменную прямо не удается. Большое распространение получил метод неполного разделения переменных [81], когда время исключается при помощи интегрального преобразования (в некоторых случаях интегральному преобразованию подвергается и пространственная координата), а затем в полученных уравнениях проводится разделение переменных. Как правило, используется интегральное преобразование Лапласа или Фурье [3]. Преобразование Лапласа функции интегрируемой в смысле Лебега на любом открытом интервале, задается с помощью интегральной формулы

параметр преобразования). Индекс указывает на результат применения преобразования Лапласа к функции Функцию обычно называют изображением функции функцию оригиналом функции Инверсия преобразования (3.59) имеет вид

где контур интегрирования проходит справа от особых точек подынтегральной функции

Распространение нестационарных волн в однородной изотропной упругой среде в общем случае описывается волновыми уравнениями (1.8). При решении задач нестационарной дифракции упругих волн требуется найти решение уравнений (1.8), удовлетворяющее граничным условиям на препятствии, условиям затухания возмущений на бесконечности и начальным условиям. Поскольку отраженные препятствием волны возникают лишь с момента времени, когда падающая волна достигнет препятствия, начальные условия для потенциалов отраженных волн берутся нулевыми:

Если упругая среда находится в условиях осесимметричной деформации, то, вводя сферические координаты векторный потенциал можно представить в виде

где — скалярная функция. Тогда вместо уравнений (1.8) получим систему двух скалярных волновых уравнений

Выражения для составляющих вектора перемещений и тензора напряжений имеют вид

Применяя к уравнениям (3.62) преобразование Лапласа по времени с учетом начальных условий (3.61), получаем уравнения

общее решение которых, затухающее на бесконечности, имеет вид

Здесь полином Лежандра, а функция Макдональда представима многочленом

Определив постоянные из граничных условий, получим выражения для искомых величин (напряжения, смещения) типа

Здесь коэффициент Пуассона, а через х обозначена одна из величин

Обращение выражения (3.67) относительно преобразования Лапласа сопряжено с необходимостью отыскания корней алгебраических уравнений высокой степени. Покажем, как из формулы (3.67) можно получить интегральное уравнение относительно Перепишем эту формулу в виде

Заметим, что произведение функций Макдональда, согласно (3.66), есть также многочлен от Домножим выражение (3.68) слева и справа на где степень выбирается из расчета, что

полином должен начинаться со степени Применим далее к выражению (3.68) теорему о свертке оригиналов [48] и получим интегральное уравнение Вольтерра I рода относительно

где ядро и правая часть являются полиномами от так как

Если выражение (3.68) домножить на и применить теорему о свертке, получим интегральное уравнение Вольтерра II рода

Если упругая среда находится в условиях плоской деформации в плоскости то и и векторный потенциал представляется в виде где скалярная функция. Тогда вместо уравнений (1.8) получим систему двух скалярных уравнений (3.62). В полярных координатах компоненты вектора перемещений и тензора напряжений выражаются через потенциалы посредством формул

Общее решение волновых уравнений (3.62) в пространстве изображений по Лапласу можно записать в виде

В формулах (3.72) учтено, что решение должно затухать при Произвольные постоянные определяются из граничных условий на поверхности кругового препятствия. В результате получаются выражения для изображения искомых величин (перемещения, напряжения) в виде дроби, числитель и знаменатель которой содержат функции Макдональда и их произведения:

Обращение выражения (3.73) относительно преобразования Лапласа сопряжено с большими трудностями. Так, для этого требуется определить корни трансцендентных уравнений и вычислить интегралы по берегам бесконечного разреза.

Изложим кратко один из возможных методов обращения, с помощью которого можно избежать указанные трудности. Выражение для перепишем в виде

Известная в теории преобразования Лапласа теорема о свертке оригиналов [48] позволяет выражение (3.74) в пространстве оригиналов записать в виде свертки

которая есть интегральное уравнение Вольтерра I рода относительно Для определения ядра и правой части уравнения воспользуемся табличными оригиналами для функций Макдональда

откуда, например, получаем

Здесь оператор обращения к преобразованию Лапласа. Используя выражение (3.76) и аналогичные ему, можно представить ядро в виде

или, пользуясь теоремой о среднем,

где К — полный эллиптический интеграл [2], причем Подставляя (3.78) в (3.75) и дифференцируя левую и правую части по получаем интегральное уравнение II рода

Таким образом, граничная задача дифракции нестационарных упругих волн сведена к решению интегральных уравнений I или II рода. Эти уравнения могут быть решены численно, путем сведения к системе алгебраических уравнений или же методом последовательных приближений.