§ 7. Вырез в виде параболического цилиндра

Рассмотрим бесконечную изотропную однородную среду с полостью в виде параболического цилиндра [86]. Фокальная ось цилиндра совпадает с осью декартовой системы координат; граница цилиндра совпадает с координатной поверхностью параболической системы координат введенной формулами (2.65), (2.66). Предположим, что на параболический цилиндр набегает плоская гармоническая волна сдвига под углом к оси (см. рис. 2.5). Вектор перемещения лежит в плоскости фронта волны, параллельной оси но его величина и фаза не зависят от координаты . В сейсмологии такие волны известны как горизонтально поляризованные волны (-волны). Тогда компоненты вектора перемещений определяются соотношениями

Из уравнений движения классической теории упругости следует волновое уравнение относительно

Не равными нулю при этом остаются напряжения сдвига

или в параболических координатах

Падающая SH-волна, распространяющаяся в плоскости задается соотношением

Здесь А — амплитуда; волновое число. Ниже временной множитель будет опущен.

Волне (4.56) соответствуют напряжения

где абсолютное значение величины является максимальным значением напряжения, обусловленного падающей волной.

В параболических координатах

где

Встречая полость, падающая волна порождает отраженные неплоские SH-волны, которые определяются из решения уравнения Гельмгольца

Решение уравнения (4.59) для отраженных волн, как следует из § 5 второй главы, имеет вид

Рис. 4.33.

Рис. 4.34.

где функции Вебера I рода; функции Вебера II рода [68]; произвольные постоянные.

Разложение плоской волны (4.58) в ряд по функциям Вебера имеет вид [69]

Здесь Ряд (4.61) расходится в точке

Граничные условия на поверхности полости таковы:

Подставляя (4.60), (4.61) в (4.62) и используя свойство ортогональности функций определяем постоянные

На рис. 4.33 построены графики абсолютного значения отнесенного к напряжения сдвига в вершине выреза в зависимости от параметра За исключением случая (падающая волна движется в направлении оси напряжения имеют бесконечную величину при , что согласуется со статическим случаем, который получается при и с поведением у вершины трещины При возрастании кривые понижаются до минимального значения, а затем асимптотически приближаются к пределу, который получается, если в выражении для напряжения устремить к бесконечности (короткие волны).

В случае жесткого параболического включения масса включения бесконечно велика. Тогда граничное условие для неподвижного включения будет иметь вид

Из соотношений (4.60), (4.61), (4.64) находим

На рис. 4.34 представлено напряжение (сттах. отнесенное к Сплошные кривые соответствуют напряжению на границе включения основания штриховые — под фокусом параболы