§ 5. Периодические задачи дифракции упругих волн

Рассмотрим неограниченное тело с бесконечным рядом одинаковых равноудаленных круговых отверстий радиуса центры которых лежат на одной прямой (рис. 7.17). Края соседних вырезов не соприкасаются. С каждым отверстием свяжем цилиндрическую систему координат так, чтобы координатная поверхность совпадала с поверхностью отверстия. Расстояние между центрами соседних отверстий равно

Рассмотрим вначале случай антиплоской деформации. Волновой потенциал и перемещение удовлетворяют уравнению (1.19). На границе необходимо задавать либо перемещения, либо напряжения Полагаем, что величина нагрузки на краях всех отверстий одинакова, но сдвинута по фазе для соседних отверстий на величину Такой сдвиг имеет место, например, в случае распространения падающей волны под углом к линии центров отверстий.

Решение уравнения (1.19) для всего тела имеет вид

После удовлетворения на каждом из контуров граничному условию (7.1) приходим к бесконечной алгебраической системе уравнений относительно

Коэффициенты и такие же, как и в (7.2). Величины имеют вид

Учитывая периодичность задачи и делая замену

получаем систему

Сделав замену

Рис. 7.17.

придем к системе уравнений вида

Ряды (7.25) при выполнении условия

в случае действительных будут расходящимися. Для мнимых или комплексных волновых чисел ряды (7.25) всегда сходятся. В работе [134] для действительных эти ряды подробно исследованы. В случае больших индексов из этих результатов получается оценка

Отсюда и из оценок типа (2.11), (2.12) следует

Чтобы убедиться, что определитель системы (7.26) нормального типа, необходимо оценить ряд Для этого строим мажорирующий ряд

сходимость которого вытекает из следующего неравенства:

Таким образом, ряд (7.30) сходится, и определитель системы (7.26) является нормальным. Тогда, в силу замечаний, сделаных в § 1, приближенное решение системы может быть

получено методом редукции. Исключение составляют сочетания параметров, удовлетворяющие равенству (7.27).

Рассмотрим случай плоской деформации. Будем изучать то же безграничное тело с полостями. Полагаем, что нагрузка сдвинута по фазе для соседних отверстий на величину Решение уравнений (1.12) записываем в форме

Удовлетворяя граничным условиям (4.2) на каждом отверстии, приходим к бесконечной системе алгебраических уравнений

Если на краях отверстий заданы напряжения, то и имеют вид (7.6).

Делая замену в системе (7.32)

приходим к бесконечной системе в каноническом виде

Учитывая для неравенство (7.29), для коэффициентов получаем такую же оценку, как и (7.9). Далее аналогичным образом доказывается, что система (7.34) имеет нормальный определитель и в случае сходимости последовательности свободных членов ее можно приближенно решать методом редукции. Исключение составляют лишь точки «скольжения», т. е. те сочетания параметров для действительных волновых чисел, которые удовлетворяют условию

Замечание. Как было отмечено, для сочетаний параметров, удовлетворяющих условиям (7.27) и (7.35), развиваемый метод не позволяет найти решение задач. Такая особенность имеет место и в аналогичных задачах акустики и оптики [49, 135, 136], причем вблизи точек, соответствующих указанным сочетаниям параметров задачи, так называемых точек скольжения, наблюдались аномальные явления, которые получили название аномалий Вуда [137]. В случае антиплоской деформации, как и в задачах оптики и акустики, имеется одно семейство точек скольжения, соответствующее одному действительному волновому числу. Для периодических задач в случае плоской деформации существует два семейства точек скольжения для двух действительных волновых чисел. Для трехмерных периодических задач дифракции упругих волн имеется также два семейства точек скольжения, что характерно для упругих волновых задач.