1.5.4. Нечеткие операторы как параметризованные семейства функций.

Изложенные выше понятия аддитивных генераторов архимедовых функций и с-двойственности треугольных норм и конорм служат основой для перехода к целенаправленному построению и исследованию обобщенных нечетких операторов. Перечислим наиболее интересные из них (двойственные операторы обозначаются.

I. Семейства строгих (при архимедовых -норм и -конорм

В частных случаях имеем:

Отметим, что .

Для семейства конорм. получаем, в частности, конорма Н обращается в оператор Лоренца , тогда как как Здесь

II. Семейства строгих -норм и -конорм

При получаем треугольную норму . Отметим, что Для двойственной имеем , а при Здесь .

III. Семейства операторов Сугено (см. [29]).

При увеличении параметра X оба семейства функций возрастают. Для Для а в случае Соответственно Свойство с-двойственности и выполняется для

IV. Семейства -норм и норм [63].

Здесь Соответственно

Семейства -норм и -конорм

Имеем

VI. Семейства -норм и -конорм [25].

При

VII. Семейства -норм и -конорм

Данное семейство операторов является единственным, удовлетворяющим условию . В частных случаях

VIII. Семейства операторов

Все эти варианты определения нечетких операторов можно обобщить, если рассмотреть их не в классе -норм и -конорм, а в классе бинарных операций на множестве действительных чисел , обладающих аналогичными свойствами.

Помимо нечетких операторов, входящих в класс -норм и -конорм, существуют операторы осреднения удовлетворяющие основному требованию

Например, обобщенный оператор осреднения

дает

(среднее арифметическое),

(среднее гармоническое),

(среднее геометрическое).

В случае

а при

Таким образом, к настоящему времени теория нечетких множеств располагает значительным количеством гибких параметризованных операторов, позволяющих агрегировать нечеткую информацию с учетом изменчивости ситуационных данных.