Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2.8. Порядки и слабые порядкиАнтисимметричное (2.20) нечеткое отношение Р называется отношением упорядочения или порядком. Мы здесь для определенности будем рассматривать лишь строгие, т. е. антирефлексивные (2.16), порядки. Свойства нестрогих (рефлексивных) порядков во многом совпадают со свойствами строгих порядков. Различные порядки отличаются друг от друга требованиями, предъявляемыми к условию транзитивности. Как правило, эти требования выражают разумность, рациональность, согласованность отношения упорядочения, заданного в множестве Если для отношений сходства условие транзитивности обычно записывается в виде
где Ацикличность:
Слабая транзитивность:
Отрицательная транзитивность:
Сильная транзитивность:
Сверхсилъпая транзитивность: условие (2.48) совместно с условием:
Метрическая транзитивность
Квазисерийность:
Линейная транзитивность
Ультраметрическая транзитивность:
В общем случае предполагается, что рассмотренные условия транзитивности определены для линейно упорядоченного Рассматриваемые условия транзитивности могут использоваться как при построении моделей рациональности нечетких предпочтений в нормативной теории выбора [13], так и при формировании некоторой правильной структуры системы, информация о которой может быть представлена в виде нечеткого отношения порядка. Условия ацикличности, слабой транзитивности и отрицательной транзитивности равносильны условию ацикличности, транзитивности и отрицательной транзитивности, соответственно, обыкновенного отношения
Аналогичные свойства могут быть определены как а-свойства для различных а-уровней В отличие от первых трех свойств остальные свойства более специфичны для НО и в большей мере учитывают согласованность силы отношения между элементами множества X. Для этих свойств также могут быть сформулированы Условие (2.47) для антисимметричных отношений порядка совпадает с (2.24). Условие (2.48) представляется наиболее естественным условием согласованности при интерпретации отношения порядка как отношения, учитывающего силу предпочтения в парных сравнениях альтернатив. Частным случаем сильного порядка (порядка, удовлетворяющего условию сильной транзитивности
Условие (2.50) определяет нечеткую квазисерию. Каждый
Поскольку обычная квазисерия определяет разбиение множества X на упорядоченные классы эквивалентности, нечеткая квазисерия определяет разбиение множества X на упорядоченные классы эквивалентности на каждом уровне Частным случаем метрических порядков, помимо квазисерии, является линейный порядок, определяемый условием (2.51).
Рис. 2.4. Нечеткая квазисерия Р: а — граф отношения; б — система разбиений на упорядоченные классы по отношению Р Линейный порядок при интерпретации
Ультраметрическая транзитивность построена по аналогии с метрической транзитивностью (2.49), однако условие (2.52) не эквивалентно для антисимметричных отношений ультраметрическому неравенству:
Условие (2.54) эквивалентно для асимметричных отношений условию квазисерийности (2.50). Таблица 2.2
Между строгими порядками (асимметричными (2.21) отношениями) и слабыми порядками (рефлексивными (2.13) отношениями) существует тесная связь. Эти порядки могут быть получены друг из друга с помощью ряда преобразований. Если на
то на множестве НО может быть задапа операция дополнения, обозначаемая чертой сверху, с помощью соотношения
и на множестве
Дистрибутивная решетка, на которой задана операция дополнения, удовлетворяющая тождествам (2.55) и (2.56), называется решеткой Де Моргана. Например, если
При
Если на
отношение различия
отношение слабого порядка
Отношение (2.59) удовлетворяет условию полноты (2.22):
Таким образом, если на X задано НО строгого порядка, то с его помощью могут быть построены на X нечеткие отношения сходства (различия) и слабого порядка. Транзитивность отношения Р определяет тот или иной уровень транзитивности отношений отношение Из (2.55) и (2.56) видно, что соотношение (2.59) может использоваться для получения из полного (2.60) отношения слабого порядка отношения строгого порядка
отношения сходства
отношения различия
Если отношение слабого порядка не является полным, то соотношение (2.62) также будет определять некоторое отношение сходства, однако (2.61) уже не будет определять строгого порядка. Такой порядок может быть получен из
где операция
В [40] показано, что при транзитивном Кроме рассмотренных типов НО порядка и слабого порядка, в теории принятия решений применяются следующие отношения предпочтения. При
Для подобных отпошепий предпочтения, которые часто иптерпретируются как вероятностные отношения предпочтения, рассматриваются [14] условия стохастической транзитивности:
и сильной стохастической транзитивности:
Отношение строгого предпочтения, связанное с подобпым отношением предпочтения, может быть определено следующим образом:
Нетрудно обнаружить связь между условиями (2.64), (2.65) и условиями отрицательной и сильной транзитивности строгих порядков. При
Отношение строгого порядка, связанное с НО порядка могут быть получены многими способами и допускать различную интерпретацию.
|
1 |
Оглавление
|