Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 2.9. Приложения теории нечетких отношений к анализу системРассмотрим некоторые приложения теории НО к кластерному анализу (автоматической классификации) и задачам принятия решений. Применение теории НО в кластерном анализе впервые обсуждалось в работах [42, 43]. В [48] предложена процедура кластеризации, основанная на транзитивном замыкании исходного отношения сходства, получаемого в результате опроса экспертов. Эксперты в некоторой шкале сравнений указывали силу сходства между портретами людей, принадлежащих к нескольким семьям, и на основе попарного сравнения всех портретов строилась матрица сходства. Транзитивное замыкание этой матрицы давало НО эквивалентности. Далее выбирался порог (уровень) а таким образом, чтобы число классов разбиения, получаемое на а-уровне, равнялось числу семей. Процедура классификации относила портреты, попавшие в один класс разбиения, к одной семье. В проведенпых экспериментах результаты классификации дали хорошее согласование с истинным разбиением портретов по семьям. Оказывается, рассмотренная выше процедура кластеризации, основанная на транзитивном замыкании отношения сходства, совпадает с хорошо известным алгоритмом кластеризации «ближайший сосед» [10, 33]. Многие иерархические алгоритмы кластеризации также могут быть легко и удобно проинтерпретированы на языке НО. Нечеткие отношения эквивалентности определяют на своих a-уровнях вложенную систему разбиений множества объектов X. Аналогичную систему разбиений строят и иерархические алгоритмы кластеризации, исходной информацией для которых служит обычно матрица сходства между объектами множества Различные подходы к задаче автоматической классификации, основанные на понятиях НМ и НО рассматриваются также в работах [12, 16, 23, 38, 41—44, 50, 51, 54]. В частности, в [51] рассматриваются методы кластеризации, основанные на НО сходства, которые обобщают многие известные методы, использующие графовый подход. В [26] рассматривается метод кластеризации, основанный на разложении НО сходства не на а-уровни, а на взвешенную сумму обычных отношений, в общем случае не вложенных друг в друга. Асимметричные НО (отношения порядка) находят приложения к структурному анализу систем, принятию решений и т. д. [14-16, 19, 37—38, 40—41, 46, 49, 52]. НО порядка имеют преимущество перед обычными отношениями порядка, используемыми при построении моделей систем, так как позволяют учитывать интенсивность доминирования, предпочтения, подчиненности и т. п., которая в обыкновенных моделях не учитывается. Применение при попарном сравнении альтернатив шкал сравнений, в которых эксперт может измерять интенсивность предпочтения, позволяет вводить в модели предпочтений, основанные на теории НО, дополнительную информацию, что дает возможность более адекватно описывать предпочтения эксперта. В известных подходах к анализу предпочтений, учитывающих интенсивность предпочтений при парных сравнениях альтернатив, шкала сравнений, в которой измеряются эти интенсивности предпочтений, предполагается обычпо либо шкалой интервалов, либо шкалой подобия (шкалой отношений) [18], что во многих практических ситуациях является обычно слишком сильным предположением и не соответствует характеру предпочтений эксперта, производящего попарное сравнение альтернатив. Модели предпочтений, в которых попарное сравнение альтернатив производится в порядковой шкале, до настоящего времени исследовались лишь в терминах громоздкого аппарата четырехместпых отношений [13]. Анализ таких моделей возможен в рамках теории НО, представляющей для этого более удобный язык. Пусть X — множество альтернатив,
каждой альтернативе
где — операция дополнения в альтернатив [19, 40]:
При Следуя нормативной теории выбора [13], можно рассмотреть связь между свойствами функции недоминируемости и различными моделями рациональности НО предпочтения с порядковой шкалой сравнений. Пусть при любом НО строгого предпочтения Р
при ацикличности Р
при слабой транзитивности
при отрицательной транзитивности
при
пои сильной транзитивности Р
при сверхсилыюй транзитивности Р
при квазисерийности
Некоторые из перечисленных свойств, а также ряд других свойств могут быть найдены в работах [3, 4, 5]. Рассмотренные свойства функции педоминируемости имеют тесную связь с известпыми аксиомами рациональности функций выбора, рассматриваемыми в теории принятия решений [1, 13]. Под функцией выбора понимается обычно функция Рассмотрим связь между перечисленными свойствами функции недоминируемости и свойствами обыкновенной функции выбора, лежащими в основе различного вида аксиом рациональности функций выбора [1]. Условие (2.67) аналогично аксиоме согласия: из
которое обобщает аксиому наследования: из Условия (2.69), (2.71) и (2.73) могут рассматриваться как аналоги аксиом независимости от отбрасывания отвергнутых альтернатив: из недоминируемые альтернативы, условие (2.71) — слабо доминируемые, а условие (2.73) учитывает полную согласованность значений недоминируемости. Заметим, что во все эти условия может быть включено условие (2.77), которое выполняется для всех типов транзитивности. Условия (21.70) и (2.76) можно рассматривать как обобщение на абсолютно недоминируемые и слабо доминируемые альтернативы условия: из Условие (2.75) является аналогом аксиомы Эрроу и Узавы, интерпретируемой следующим образом: если х строго лучше, чем у, то у никогда не будет выбрано в присутствии Важным условием является условие (2.72), выполняющееся для сильных порядков. Оно показывает, что выбор альтернатив производится в результате сравнения их с эталоном, что дает простой способ вычисления функции недоминируемости. Условие (2.74) характеризует равноценность объектов. Условие (2.68) обеспечивает при ацикличности Р существование абсолютно недоминируемых альтернатив. Заметим, что условие ацикличности является обычно основным условием, выполнения которого требуют от рациональных обычных отношений предпочтения, так как это условие обеспечивает наличие наилучших альтернатив. Для НО предпочтения выбор альтернатив может осуществляться даже тогда, когда отношение предпочтения является в обычном смысле отношением с циклами. В широком классе НО, содержащих циклы, выбор может осуществляться за счет слабо доминируемых альтернатив, т. е. таких альтернатив, для которых
В этом случае функция недоминируемости удовлетворяет условию: Заметим, что ацикличности Р:
К последнему условию может быть также добавлено ослабленное условие полноты:
В заключение отметим, что рассмотренные здесь примеры не ограничивают круг возможных приложений теории нечетких
|
1 |
Оглавление
|