§ 6.2. Многозначные и нечеткозначпая логики

6.2.1. Многозначные логики.

В зависимости от способов введения операций объединения и пересечения НМ существует три основных теории нечетких множеств (см. табл. 6.1). Если множество нечетких подмножеств X с обычными максиминными операциями объединения и пересечения то , рассматриваемое как множество отображений из X в [0, 1], является дистрибутивной решеткой с псевдодополнением (следуя, в основном, обозначениям [15]). Можно взять в качестве объединения и пересечения вероятностные операторы (алгебраические операции в табл. 6.1). Относительно этих операторов и обычного псевдодополнения алгебра образует только недистрибутивную решетку с псевдодополнением. И, наконец, используя операторы ограниченной суммы

и произведения и обычное псевдодополнение, мы получим недистрибутивную решетку с дополнением

Отметим, что

Каждой этих теорий соответствует многозначная логика, связки для которой приведены в табл. 6.1, где

Таблица 6.1 (см. скан)

Во всех трех случаях значения отрицания вычисляются по формуле значения импликации — по формуле а значения эквивалентности — по формуле

Связки всегда выражаются как отрицания и V соответственно; тавтология и противоречие определены как . В более общем виде

В соответствии с операциями из теории нечетких множеств в дизъюнкция и конъюнкция определяются как

и являются коммутативными, ассоциативными, идемпотентными и дистрибутивными относительно друг друга, но не удовлетворяют закону исключенного третьего в следующем смысле:

Для логики, связанной с операции определяются как

и являются коммутативными и ассоциативными, но не идемпотентными и не дистрибутивными друг относительно друга, хотя и удовлетворяют закону исключенного третьего.

В логике, связанной с которую часто называют вероятностной логикой, операции

являются коммутативными, ассоциативными, но не идемпотентны и не дистрибутивны относительно друг друга.

Альтернативный подход к описанному способу введения нечетких логик предложен в [33], где понятие нечеткого множества основано на понятии нечеткой границы между классами. Связки НЕТ, ИЛИ, а также импликация и отрицание определяются в терминах вероятности неверной классификации при распознавании. Их обычные свойства при этом выполняются. Другие определения нечетких множеств могут быть сведены к этому случаю с помощью наложения соответствующих ограничений на функции распределения границ.

Алгебраические свойства нечетких логик, построенных на основе многозначных, были исследованы также в [9, 54, 56].