4.2.2. Субаддитивные меры.
Меры правдоподобия. Мера правдоподобия множества 4 из X определена в [10, 26] как
где
— функция уверенности.
Мера правдоподобия удовлетворяет следующим аксиомам
Существует другой способ определения функции правдоподобия [10, 13]. Пусть
— мера, удовлетворяющая свойствам (4.13), тогда
является мерой правдоподобия. Меры правдоподобия называются также верхними вероятностями [12].
Пусть
— две меры такие, что
. В этом случае
является функцией доверия тогда и только тогда, когда
— мера правдоподобия.
Мера возможности. Мерой возможности [41] называется функция
, удовлетворяющая следующим аксиомам:
Здесь
— множество натуральных чисел.
Мера возможности может быть построена с помощью распределения возможности
являющегося функцией я:
, такой, что
(условие нормировки). Нетрудно увидеть, что
Очевидно, что для счетного множества
Любая мера возможности является нечеткой мерой тогда и только тогда, когда существует функция распределения
такая, что
Любая мера возможности П является
тогда и только тогда, когда II — мера Дирака.
Пусть
две меры такие, что
Нечеткая мера
является согласованной функцией доверия тогда и только тогда, когда
является мерой возможности.
Содержательные аспекты теории возможности рассмотрены в работах [13, 20—21, 41].
Мера вероятности. Вероятностная мера
является частным случаем функции доверия или меры правдоподобия (см. рис. 4.1). Нечеткая мера
является вероятностной мерой тогда и только тогда, когда выполняются условия:
-мера. Нечеткая мера
называется
-мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:
Нетрудно увидеть, что
-мера является расширением меры Цукамото [37], для которой
Очевидно, что при
-мера является мерой возможности, а при
— вероятностной мерой. Если
то
-мера описывает неопределенность, отличающуюся по своим свойствам от вероятности или возможности.
Условие нормировки для
-меры в случае счетного множества X имеет вид
где
Если
то нетрудно увидеть, что для нечеткой плотности
можно получить
Утверждение 4.1. Пусть X — произвольное множество,
является
-мерой. Тогда для
мера нечеткости примет вид
Доказательство. Поскольку
, то условие нормировки для
примет вид:
Если
тогда
, а при
случая
условие нормировки имеет силу, если
Утверждение 4.2. Пусть
- произвольное множество,
— борелевская
-алгебра,
— нечеткая
-мера.
Тогда
Доказательство. Условие нормировки для
относительно
имеет вид
если
тогда
Нетрудно увидеть, что если
то
а при
что доказывает утверждение.
Утверждения 4.1 и 4.2 справедливы только для конкретного разбиения множества на подмножества.