4.2.2. Субаддитивные меры.
Меры правдоподобия. Мера правдоподобия множества 4 из X определена в [10, 26] как
где 
— функция уверенности.
Мера правдоподобия удовлетворяет следующим аксиомам
Существует другой способ определения функции правдоподобия [10, 13]. Пусть 
— мера, удовлетворяющая свойствам (4.13), тогда
является мерой правдоподобия. Меры правдоподобия называются также верхними вероятностями [12].
Пусть 
— две меры такие, что 
. В этом случае 
является функцией доверия тогда и только тогда, когда 
— мера правдоподобия.
Мера возможности. Мерой возможности [41] называется функция 
, удовлетворяющая следующим аксиомам:
Здесь 
— множество натуральных чисел.
Мера возможности может быть построена с помощью распределения возможности 
являющегося функцией я: 
, такой, что 
(условие нормировки). Нетрудно увидеть, что 
Очевидно, что для счетного множества 
Любая мера возможности является нечеткой мерой тогда и только тогда, когда существует функция распределения 
такая, что 
Любая мера возможности П является 
тогда и только тогда, когда II — мера Дирака.
Пусть 
две меры такие, что 
Нечеткая мера 
является согласованной функцией доверия тогда и только тогда, когда 
является мерой возможности.
Содержательные аспекты теории возможности рассмотрены в работах [13, 20—21, 41].
Мера вероятности. Вероятностная мера 
является частным случаем функции доверия или меры правдоподобия (см. рис. 4.1). Нечеткая мера 
является вероятностной мерой тогда и только тогда, когда выполняются условия:
-мера. Нечеткая мера 
называется 
-мерой, если она удовлетворяет следующим аксиомам:
Нетрудно увидеть, что 
-мера является расширением меры Цукамото [37], для которой 
Очевидно, что при 
-мера является мерой возможности, а при 
— вероятностной мерой. Если 
то 
-мера описывает неопределенность, отличающуюся по своим свойствам от вероятности или возможности.
Условие нормировки для 
-меры в случае счетного множества X имеет вид
где
Если 
то нетрудно увидеть, что для нечеткой плотности 
можно получить
Утверждение 4.1. Пусть X — произвольное множество, 
является 
-мерой. Тогда для 
мера нечеткости примет вид
Доказательство. Поскольку 
, то условие нормировки для 
примет вид:
Если 
тогда 
, а при 
случая 
условие нормировки имеет силу, если 
Утверждение 4.2. Пусть 
- произвольное множество, 
— борелевская 
-алгебра, 
— нечеткая 
-мера.
Тогда 
Доказательство. Условие нормировки для 
относительно 
имеет вид
если 
тогда 
Нетрудно увидеть, что если 
то
а при 
что доказывает утверждение.
Утверждения 4.1 и 4.2 справедливы только для конкретного разбиения множества на подмножества.
