§ 3.2. Аксиоматический подход к определению показателей размытости НМ

Основные свойства, выполнения которых разумно потребовать от показателя размытости нечетких множеств, впервые были сформулированы в работе [15]. В работах [1—3, 10, 17, 19, 22, 27—28, 30, 33—35, 38] предложены различные модификации и дополнения этих свойств, положенные в основу аксиоматического определения показателя размытости НМ.

Показатель размытости НМ можно определить как меру внутренней неопределенности, двусмысленности объектов множества X по отношению к некоторому свойству А, характеризующему эти объекты и определяющему в объектов А. Если некоторый объект обладает свойством А, но лишь в частичной мере: то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х по отношению к свойству А проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, «обладающих свойством А», и классу объектов, «не обладающих свойством А». Эта двусмысленность объекта х по отношению к свойству А максимальна, когда степени принадлежности объекта х к обоим классам и «не А» равны, т. е. . И наоборот, двусмысленность объекта минимальна, когда объект принадлежит только к одному из этих классов, Т. е. либо либо Таким образом, глобальный показатель размытости НМ А можно определить в виде функционала удовлетворяющего следующим условиям:

(см. скан)

Условия были сформулированы в [15]. В [34] предложено к ним добавить еще два: Условие представляется достаточно естественным, а приводит к аддитивности показателя размытости

В [1] установлено, что условие при конечном X выполняется для любой функции тогда и только тогда, когда допускает представление

где -вещественнозначные функции от у [0, 1], и — число элементов множества

предлагается усилить условие и потребовать наряду с условиями строгого возрастания если А является заострением В и Тогда условие оказывается лишним, так как оно следует из а из следует, что условие можно заменить на более простое: где — наименьший элемент решетки т. е.

для всех Условия эквивалентны условию если

Итак, показатель размытости можно рассматривать как аддитивный симметричный и строго возрастающий с увеличением размытости нечеткого множества функционал, определенный на . Можно показать, что вещественный, определенный на функционал является показателем размытости на тогда и только тогда, когда он допускает представление

где для всех — вещественные функции от такие, что строго возрастают на интервале [0, 0,5]. Здесь предполагается, что

По аналогии с шенноновской энтропией теории информации в [15] вводится логарифмическая энтропия

где — функция Шеннона

и — положительная константа. В (3.4) полагается, что . В [13] исследуются также свойства показателя размытости (3.1), в котором функция имеет следующий вид:

где - это непрерывные и строго вогнутые функции в интервале [0, 1] такие, что Этот показатель размытости связан с мощностью НМ

следующим неравенством:

В (3.5) функции могут быть записаны в виде где — непрерывная вогнутая функция в Выбор в качестве функции приводит к логарифмической энтропии (3.3), выбор приводит к функционалу, имеющему довольно простой вид:

Если определить моменты нечеткого множества в виде [13]:

то показатель размытости (3.6) будет моментом первого порядка, а логарифмическая энтропия может быть выражена через моменты следующим образом:

Если отказаться от условия аддитивности то показатель размытости может быть задан, например, как монотонно возрастающая функция от (3.2) [35]:

В работах [27—28] рассматриваются дополнительные аксиомы строгой выпуклости [28] и обобщенной аддитивности [27].

Выбор конкретного показателя зависит от условий задачи. В следующем разделе будет показано, что показатель размытости нечетких множеств может быть задан с помощью метрики, введенной в . В [13, 15, 18] обсуждается связь между показателем размытости НМ и неопределенностью, возникающей при принятии решения, к какому из двух классов или «не А» отнести объекты множества X. В практике человеку часто приходится принимать подобные решения, когда необходимо отнести объект к одному из двух классов, характеризующихся противоположными свойствами типа: «белый — черный», «пригоден — не пригоден», «нравится — не нравится», «хороший — плохой» и т. Такие решения вызывают у лица, принимающего решения, неопределенность, обусловленную тем, что объекты часто обладают сразу обоими противоположными свойствами, хотя и в разной мере. Можно предположить, что показатель этой неопределенности зависит от размытости ситуации, в которой принимается решение. В [15] предполагается, что показатель неопределенности решений может удовлетворять тем же свойствам, что и показатель размытости нечетких множеств. Однако систему свойств, которым должен удовлетворять показатель неопределенности, можно и ослабить, заменив в системе свойств условие на более слабое Это приводит к нестрогому возрастанию функций в (3.2), а условия заменяются такяге на более слабые условия:

если А — обычное множество,

максимально, если

Такое определение меры неопределенности решения в нечеткой ситуации позволяет включать в рассмотрение пороговые

функции принятия решений, например, такие:

где — некоторый параметр, зависящий от условий принятия решений, а с — некоторая константа. Подобные функции рассматривались, например, в [11].