§ 3.2. Аксиоматический подход к определению показателей размытости НМ
Основные свойства, выполнения которых разумно потребовать от показателя размытости нечетких множеств, впервые были сформулированы в работе [15]. В работах [1—3, 10, 17, 19, 22, 27—28, 30, 33—35, 38] предложены различные модификации и дополнения этих свойств, положенные в основу аксиоматического определения показателя размытости НМ.
Показатель размытости НМ можно определить как меру внутренней неопределенности, двусмысленности объектов множества X по отношению к некоторому свойству А, характеризующему эти объекты и определяющему в
объектов А. Если некоторый объект
обладает свойством А, но лишь в частичной мере:
то внутренняя неопределенность, двусмысленность объекта х по отношению к свойству А проявляется в том, что он, хотя и в разной степени, принадлежит сразу двум противоположным классам: классу объектов, «обладающих свойством А», и классу объектов, «не обладающих свойством А». Эта двусмысленность объекта х по отношению к свойству А максимальна, когда степени принадлежности объекта х к обоим классам
и «не А» равны, т. е.
. И наоборот, двусмысленность объекта минимальна, когда объект принадлежит только к одному из этих классов, Т. е. либо
либо
Таким образом, глобальный показатель размытости НМ А можно определить в виде функционала
удовлетворяющего следующим условиям:
(см. скан)
Условия
были сформулированы в [15]. В [34] предложено к ним добавить еще два:
Условие
представляется достаточно естественным, а
приводит к аддитивности показателя размытости
В [1] установлено, что условие
при конечном X выполняется для любой функции
тогда и только тогда, когда
допускает представление
где
-вещественнозначные функции от у [0, 1], и
— число элементов множества
предлагается усилить условие
и потребовать наряду с условиями
строгого возрастания
если А является заострением В и
Тогда условие
оказывается лишним, так как оно следует из
а из
следует, что условие
можно заменить на более простое:
где
— наименьший элемент решетки
т. е.
для всех
Условия
эквивалентны условию
если
Итак, показатель размытости можно рассматривать как аддитивный
симметричный
и строго возрастающий с увеличением размытости нечеткого множества
функционал, определенный на
. Можно показать, что вещественный, определенный на
функционал является показателем размытости на
тогда и только тогда, когда он допускает представление
где для всех
— вещественные функции от
такие, что
строго возрастают на интервале [0, 0,5]. Здесь предполагается, что
По аналогии с шенноновской энтропией теории информации в [15] вводится логарифмическая энтропия
где
— функция Шеннона
и
— положительная константа. В (3.4) полагается, что
. В [13] исследуются также свойства показателя размытости (3.1), в котором функция
имеет следующий вид:
где
- это непрерывные и строго вогнутые функции в интервале [0, 1] такие, что
Этот показатель размытости связан с мощностью НМ
следующим неравенством:
В (3.5) функции
могут быть записаны в виде
где
— непрерывная вогнутая функция в
Выбор в качестве
функции
приводит к логарифмической энтропии (3.3), выбор
приводит к функционалу, имеющему довольно простой вид:
Если определить моменты нечеткого множества в виде [13]:
то показатель размытости (3.6) будет моментом первого порядка, а логарифмическая энтропия может быть выражена через моменты следующим образом:
Если отказаться от условия аддитивности
то показатель размытости может быть задан, например, как монотонно возрастающая функция от (3.2) [35]:
В работах [27—28] рассматриваются дополнительные аксиомы строгой выпуклости [28] и обобщенной аддитивности [27].
Выбор конкретного показателя зависит от условий задачи. В следующем разделе будет показано, что показатель размытости нечетких множеств может быть задан с помощью метрики, введенной в
. В [13, 15, 18] обсуждается связь между показателем размытости НМ и неопределенностью, возникающей при принятии решения, к какому из двух классов
или «не А» отнести объекты множества X. В практике человеку часто приходится принимать подобные решения, когда необходимо отнести объект к одному из двух классов, характеризующихся противоположными свойствами типа: «белый — черный», «пригоден — не пригоден», «нравится — не нравится», «хороший — плохой» и т.
Такие решения вызывают у лица, принимающего решения, неопределенность, обусловленную тем, что объекты часто обладают сразу обоими противоположными свойствами, хотя и в разной мере. Можно предположить, что показатель этой неопределенности зависит от размытости ситуации, в которой принимается решение. В [15] предполагается, что показатель неопределенности решений может удовлетворять тем же свойствам, что и показатель размытости нечетких множеств. Однако систему свойств, которым должен удовлетворять показатель неопределенности, можно и ослабить, заменив в системе свойств
условие
на более слабое
Это приводит к нестрогому возрастанию функций
в (3.2), а условия
заменяются такяге на более слабые условия:
если А — обычное множество,
максимально, если
Такое определение меры неопределенности решения в нечеткой ситуации позволяет включать в рассмотрение пороговые
функции принятия решений, например, такие:
где
— некоторый параметр, зависящий от условий принятия решений, а с — некоторая константа. Подобные функции рассматривались, например, в [11].