§ 2.2. Операции над нечеткими отношениями

Объединение и пересечение определяются следующим образом:

Отношение включения для НО определяется с помощью отношения частичного порядка в

Множество всех НО между X и Y образует дистрибутивную решетку по отношению к операциям объединения и пересечения (2.3) и (2.4) и удовлетворяет следующим тождествам:

Выполнение этих тождеств для следует из выполнения соответствующих тождеств для решетки L. В выполняется также следующее соотношение

Из полноты решетки следует, что она обладает наименьшим 0 и наибольшим I элементами, такими, что Эти элементы определяют, соответственно, наименьший 0 и наибольший элементы решетки всех

Отношения (2.6) и (2.7) называют соответственно пустым и универсальным отношениями. Эти отношения удовлетворяют в следующим тождествам:

Заметим, что если является интервалом вещественных чисел то наименьший 0 и наибольший I элементы будут равны, соответственно, . В частном случае, когда получим, соответственно, ноль и единицу интервала [0, 1].

Следующее соотношение определяет композицию нечеткого отношения между X и Y и нечеткого отношения между :

Здесь V означает наименьшую верхнюю грань множества элементов где у пробегает все значения из . В силу полноты эта операция всегда определена. Как нетрудно увидеть из (2.8), отношение будет отношением между X и

Кроме операции композиции (2.8), которая определяется с помощью основных операций решетки существуют и другие варианты операции композиции, которые определяются с помощью дополнительных операций, вводимых в . В зависимости от того, является ли множеством векторов, множеством лингвистических переменных или множеством чисел, эти дополнительные операции будут иметь и соответствующий Например, если является множеством вещественных чисел, то операция в (2.8) может быть заменена на операцию взятия

среднего арифметического, что даст другое определение операции композиции:

В случае соотношение (2.8) записывается в виде

Замена в (2.10) операции А на операцию умножения • дает следующее определение операции композиции:

Мы здесь ограничимся рассмотрением свойств основной операции композиции (2.8). Свойства других операций композиции рассматриваются в работах [24—26, 37—38, 52]. В дальнейшем будет предполагаться также, что и является НО на множестве X.

Нечеткое отношение Е такое, что

играет по отношению к операции композиции (2.8) роль единицы: . В теории обычных отношений отношение Е называется отношением равенства [22]. Для любого нечеткого отношения определяется также обратное ему отношение