§ 2.2. Операции над нечеткими отношениями
Объединение
и пересечение
определяются следующим образом:
Отношение включения
для НО определяется с помощью отношения частичного порядка в
Множество
всех НО между X и Y образует дистрибутивную решетку по отношению к операциям объединения и пересечения (2.3) и (2.4) и удовлетворяет следующим тождествам:
Выполнение этих тождеств для
следует из выполнения соответствующих тождеств для решетки L. В
выполняется также следующее соотношение
Из полноты решетки
следует, что она обладает наименьшим 0 и наибольшим I элементами, такими, что
Эти элементы определяют, соответственно, наименьший 0 и наибольший
элементы решетки всех
Отношения (2.6) и (2.7) называют соответственно пустым и универсальным отношениями. Эти отношения удовлетворяют в
следующим тождествам:
Заметим, что если
является интервалом вещественных чисел
то наименьший 0 и наибольший I элементы будут равны, соответственно,
. В частном случае, когда
получим, соответственно, ноль и единицу интервала [0, 1].
Следующее соотношение определяет композицию
нечеткого отношения
между X и Y и нечеткого отношения
между
:
Здесь V означает наименьшую верхнюю грань множества элементов
где у пробегает все значения из
. В силу полноты
эта операция всегда определена. Как нетрудно увидеть из (2.8), отношение
будет отношением между X и
Кроме операции композиции (2.8), которая определяется с помощью основных операций решетки
существуют и другие варианты операции композиции, которые определяются с помощью дополнительных операций, вводимых в
. В зависимости от того, является ли
множеством векторов, множеством лингвистических переменных или множеством чисел, эти дополнительные операции будут иметь и соответствующий
Например, если
является множеством вещественных чисел, то операция
в (2.8) может быть заменена на операцию взятия
среднего арифметического, что даст другое определение операции композиции:
В случае
соотношение (2.8) записывается в виде
Замена в (2.10) операции А на операцию умножения • дает следующее определение операции композиции:
Мы здесь ограничимся рассмотрением свойств основной операции композиции (2.8). Свойства других операций композиции рассматриваются в работах [24—26, 37—38, 52]. В дальнейшем будет предполагаться также, что
и
является НО на множестве X.
Нечеткое отношение Е такое, что
играет по отношению к операции композиции (2.8) роль единицы:
. В теории обычных отношений отношение Е называется отношением равенства [22]. Для любого нечеткого отношения
определяется также обратное ему отношение