5.5.7. Принцип двойственности в (L-R)-аппроксимации.

Для осуществления (L-R)-аппроксимации необходимо сделать переход к двойственной задаче, а затем, получив решение в терминах аргументов -функций, произвести обратный переход.

Возможность такого перехода базируется на следующем утверждении.

Утверждение 5.3. Пусть -функция -типа, -обратная функция дистрибутивная структура является антиизоморфной структуре

Доказательство утверждения базируется на свойстве антитонности отображения

Следствие 5.1. Для любой формулы образованной из элементов множества Е и операций существует двойственная формула образуемая из элементов множества и операций .

Применение -аппроксимации позволяет получить значительный выигрыш в случаях, когда . Введем следующие обозначения для нечетких подмножеств -типа:

Таблица 5.3 (см. скан)

Операции с нечеткими подмножествами -типа на основании утверждения 5.3 и следствия 5.1 примут следующий вид. Пересечение:

где

Объединение:

Декартово произведение:

где -функция принадлежности нечеткого отношения G.

Основные сложности при реализации алгоритмов нечеткого вывода возникают при вычислении меры сходства значений лингвистических переменных. Применение -аппроксимации дает возможность получения аналитического решения при нахождении возможностной меры сходства. При этом справедливо следующее утверждение.

Утверждение 5.4. Пусть — множество значений ЛП, которому соответствует множество нечетких подмножеств -типа ; тогда мера возможности того, что понятие «а есть b» определяется из условия

где — параметры функций принадлежности -типа (5.65) — (5.67) нечетких подмножеств А и В.

Доказательство. Пусть тогда Поскольку

то

При этом

Если при этом

Поскольку при имеем

то