§ 5.8. Обратная задача для нечетких отношений

В ряде важных для практики случаев моделирования нечетких систем возникает необходимость определения входных ЛП по заданным выходным при наличии схемы нечетких рассуждений. К таким задачам относятся задачи определения чувствительности

нечетких систем к изменению входных задачи оптимального управления нечеткой системой при заданном нечетком целевом множестве, характеризующем критерий качества системы, и нечетких ограничениях на параметры системы, а также ряд задач диагностики нечетких систем.

Здесь мы рассмотрим два подхода к решению задач для нечетких отношений — с применением а- и -композиции и с применением и -композиции. Напомним понятие -композиции.

Пусть — два нечетких отношения, обозначает множество нечетких отношений для и соответственно. Мы определим композицию нечетких отношений так, что функция принадлежности для Т примет вид

где соответствующие функции принадлежности.

Пусть - два нечетких отношения, тогда -композиция нечетких отношений и определяется с помощью функции принадлежности

где , операция а определяется как

Отметим, что если является наибольшим элементом в таким, что то справедливо неравенство

Если , то легко проверить, что а также

Используя данные соотношения, можно доказать следующие свойства нечетких отношений:

В работе [44] показано, что обратное решение задачи для нечетких отношений базируется на двух теоремах.

Георема 5.4. Пусть - нечеткие отношения; тогда, если множество нечетких отношений таких, что то тогда и только тогда, когда является наибольшим элементом

Теорема 5.5. Пусть нечеткие отношения; тогда, если — множество нечетких отношений таких, что то тогда и только тогда, когда является наибольшим элементом.

Если композиция нечетких отношений определяется через минимакс, то рассмотренные теоремы могут быть заменены двойственными.

Пусть -нечеткие отношения; тогда -композиция, двойственная -композиции, нечетких отношений и определяется с помощью функции принадлежности

где операция определяется как

Обозначим: — минимаксная композиция, двойственная -композиции. Двойственные теоремы для -композиции можно сформулировать следующим образом.

Теорема 5.6. Пусть — нечеткие отношения; тогда, если множество нечетких отношений таких, что то тогда и только тогда, когда является наименьшим элементом

Теорема 5.7. Пусть нечеткие отношения; тогда, если -множество нечетких отношений таких, что то тогда и только тогда, когда является наименьшим элементом

Из теорем 5.4, 5.5 видно, что -композиция позволяет определить верхнюю границу подмножества решений обратной задачи для нечетких отношений. Нижняя граница решений определяется с помощью -композиции.

Пусть — нечеткие отношения; тогда -композиция нечетких отношений и определяется через функцию принадлежности

где операция определяется как

Нижняя граница может быть приближенно найдена из условия

Рассмотрим еще один подход к решению обратных задач для нечетких отношений

Пусть — счетные множества; — степени принадлежности элементов НМ А, В и нечеткого отношения R. Композиционное правило вывода имеет вид

Введем понятие и -композицип.

Пусть ; тогда -композиция определяется соотношением

а -композиция — из условия

Пусть

Тогда функция принадлежности нечеткого подмножества а будет лежать в интервале а, который определяется из условия

где

Нетрудно показать, что Кроме того, верхняя и нижняя границы а совпадают с верхней и нижней границами а , вычисляемых с помощью и -композпций:

Применение и -композиции удобно в случаях, когда нечеткое отношение имеет малую размерность. В схеме нечетких рассуждений удобнее применять и -композпции, позволяющие

оперировать не нечеткими матрицами, а векторами значений функций принадлежности.

Применение и -композиции рассмотрим на следующем примере. Пусть задана схема нечетких рассуждений, аналогичная (5.53):

где — значения контролируемых — значения управляемых — значения выходных ЛП. Пусть также множество значений управляемых ЛП определено на базовом множестве Значениям соответствуют нечеткие подмножества

Данная схема нечетких рассуждений может соответствовать, например, нечеткому описанию процесса лечения больного. При этом — нечеткие подмножества, элементами которых являются виды терапии. — параметры, характеризующие состояние больного, — нечеткие интегральные оценки состояния больного — критерий качества болезни. В качестве такого критерия могут использоваться как объективные показатели, так и субъективные — типа оценок самочувствия. Пусть больного необходимо перевести в новое состояние В — желаемое значение нечеткого критерия. При этом необходимо определить, к какому виду терапии наиболее чувствителен больной. Степень нечувствительности больного в данном случае будет оцениваться разницей между верхней и и нижней и границами множества нечетких подмножеств с являющегося решением обратной задачи в соответствии с нечеткой информацией, содержащейся в схеме нечетких рассуждений. Следует отметить, что на управляемые ЛП может быть наложено нечеткое ограничение Композиционное правило вывода для данного случая примет вид:

где — нечеткие подмножества, соответствующие новым значениям . Используя основные свойства нечетких множеств можно показать, что

где

Нечеткие подмножества и и и могут быть определены в данном случае с помощью и -композиций, однако для этого необходимо определять нечеткое отношение Рассмотрим метод вычисления и и и с помощью и -композиций.

Из теоремы 5.5 имеем

и поскольку

то

Если являются детерминированными значениями или одноэлементными множествами, имеющими функцию принадлежности, равную 1, то

Рассмотренные методы решения обратной задачи с помощью а- и -композиции могут применяться при анализе чувствительности логико-лингвистических моделей. Решение обратной задачи для нечетких отношений с применением -аппроксимации основано на утверждениях об антиизоморфности псевдобулевых структур [10].

Утверждение 5.7. Пусть — функция -типа, — обратная функция

тогда псевдобулева структура является антиизоморфной структуре Операция является двойственной а.

Утверждение 5.8. Пусть -функция -типа, — обратная функция

тогда псевдобулева структура антиизоморфна структуре Операция является двойственной При этом если тогда

Доказательство утверждения основывается на антитонности отображения и двойственности операций .

Решение обратной задачи для нечетких отношений с применением -аппроксимации основано на утверждениях о двойственности псевдобулевых структур.

Пусть выражение для аргумента нечеткого подмножества -выражения для его верхней и нижней границ соответственно, -выражения для аргумента -функции нечеткого подмножества Все остальные обозначения — такие же, как в (5.65) — (5.67).

В этом случае можно доказать, что

где

Функции принадлежности для примут вид

Описанные в данной главе модели в настоящее время реализованы в виде пакета подпрограмм на фортране ЕС ЭВМ.

Пакет содержит подпрограммы ввода—вывода, подпрограммы всех видов композиций для счетных множеств, подпрограммы -аппроксимации, интерпретации, подпрограммы идентификации нечетких мер и вычисление подпрограммы вычисления энтропий и подпрограммы вычисления мер возможности. Пакет применялся для решения ряда задач математического моделирования биологических и экономических систем. В качестве примера приведем результаты решения двух задач.

В первой задаче необходимо было осуществить прогноз уровня pH при моделировании сердечной патологии. Для моделирования были использованы данные из [13], которые подлежали нечеткому представлению в виде — -типа. Результаты оценивались по величине средней ошибки ретроспективных прогнозов. Величина о оказалась наименьшей для модели с комбинированной интерпретацией для вероятностной интерпретации получено а для минимаксной Следует отметить, что ошибка для метода группового учета аргумента при решении данной задачи составляет

Решение ряда аналогичных задач показывает, что лингвистические модели могут конкурировать с регрессионными моделями по точности и вычислительной сложности. Они также свободны

от необходимости реализации сложных процедур псевдообращения.

Вторая задача связана с экспоненциальным прогнозированием цены на золото на лондонском рынке [55] (рис. 5.3). Применение логико-лингвистической модели с -нечеткими числами для прогнозирования с единичным шагом временного ряда, содержащего 360 точек, позволило получить прогнозы со среднеквадратичными ошибками 0,506 для модели с комбинированной интерпретацией, 0,574 — для модели с минимаксной интерпретацией.

Рис. 5.3. Пример моделирования временного ряда: а — отрезок экспериментальной кривой зависимости цены золота на лондонском рынке; б — кривая, построенная с помощью лингвологической модели с -аппроксимацией и вероятностной интерпретацией

Результаты моделирования можно сравнить с результатами моделирования статистическими методами [55]. Для модели Брауна величина о составляет 0,501, для байесовской модели (наилучший вариант) — 0,577, для адаптивной авторегрессии — 0,509, для полиномиальных моделей — . Ряд примеров решения задач прогнозирования временных рядов показывает, что лингвистические модели могут с успехом применяться для моделирования временных рядов, особенно в тех случаях, когда существует нечеткая информация.