§ 1.4. Виды областей определения функций принадлежности

Еще одним основанием для классификации НМ является вид области определения функции принадлежности. До сих пор предполагалось, что область определения функции принадлежности НМ совпадает с базовым множеством X. Однако нередко точность моделирования реального процесса не ухудшается, если задавать нечеткие множества на различных подмножествах универсального множества X. Более того, это дает возможность отразить динамику изменения базового множества в конкретной ситуации принятия решения, например, уменьшение полного количества сравниваемых альтернатив в задаче выбора в условиях дефицита времени и, таким образом, понизить общую размерность задачи. Формально нечеткие подмножества, определенные на четких подмножествах базового множества X, записываются в виде отображения или в обозначениях Заде как множество упорядоченных пар

где и называются нечеткими множествами уровня а [53].

Пример задания НМ уровня а. Пусть в универсальном множестве определено НМ

Тогда НМ уровня а НМ уровня

Иллюстративный пример [17]. Пусть — физическое пространство сигналов, сенсорное пространство в задачах восприятия сигналов. Отражение множества сигналов в образах сенсорного пространства представляем с помощью нечеткого соответствия , т. е. любой последовательности сигналов физического пространства ставятся в соответствие динамический размытый образ сенсорного пространства тогда проблема определения порогов в психофизике связывается с определением уровня а для

В [6] множество нечеткого уровня а понимается как множество элементов для которых функция принадлежности больше, чем «приблизительно а», т. е. принадлежит размытому интервалу Если где — характеристическая функция интервала то

Продолжая обобщать структуру области определения НМ, приходим к понятию нечетких подмножеств нечетко описанных универсальных множеств. Нечеткое множество есть НМ типа если значениями его функции принадлежности являются НМ типа Иначе такие объекты определяются рекурсивно как элементы классов

где

Нечеткие множества типа 2 могут интерпретироваться как нечеткие высказывания вида есть А есть , где А — некоторая оценка, принимающая значения из степень истинности или достоверности этой оценки [10]. Все операции над НМ класса расширяются для НМ типа 2 согласно принципу обобщения: если то где — операция пересечения Когда в качестве оператора пересечения для используется произведение, то имеем Операция отрицания для НМ типа 2 с функцией принадлежности принимает вид . В отличие от НМ из класса типа 2 из класса не образуют дистрибутивной решетки, а дают лишь

квазирешетку относительно расширенных операций объединения пересечения и дополнения. Здесь в общем случае не выполняются законы поглощения; для того чтобы была дистрибутивной решеткой, нечеткие множества типа 2 должны

Рис. 1.4. Операции над — нечеткими множествами, изменяющие уровень принадлежности:

Рис. 1.5. Операции над -нечеткими множествами, изменяющие уровень размытости: Гтах при условиях при условиях при условиях дополнительно удовлетворять свойствам нормальности и выпуклости.

Понятие класса объектов бесконечного порядка нечеткости вводится [33] как прямой предел последовательности отображений . Класс

(кликните для просмотра скана)

представляет собой как бы универсум -нечетких множеств, замкнутый относительно процесса построения новых -нечетких множеств (дальнейшего увеличения порядка нечеткости), а элементы из являются классами эквивалентности для элементов в Соотношение между устанавливается с помощью теоремы изоморфизма [40].

Важный частный случай нечеткого множества типа 2 — так называемое -нечеткое множество [37], каждое значение функции принадлежности которого является не точкой, а фиксированным интервалом в [0, 1]. -нечеткое множество задается отображением

Как показано в [15], алгебра -нечетких множеств является булевой алгеброй. Основные операции над -нечеткими множествами и отношениями рассмотрены на рис. 1.4, 1.5.

На рис. 1.6 дана общая классификационная схема вариантов описания нечеткой информации. С ее помощью прослеживаются возможные пути формального описания нечетких понятий.