истинный», «совершенно истинный», «более или менее истинный», «не очень истинный», «ложный» и т. д., т. е. к нечеткозначной логике, на которой основана теория приближенных рассуждений [56]. На рис. 6.2 [14] приведен пример лингвистических значений истинности: «истинно» с функцией принадлежности
«ложно»
(«истинно») и «сомнительно» с
на [0, 0,5] и
на
. Определение
-функции содержится в гл. 4.
Рис. 6.2. Функции принадлежности лингвистических значений истинности: а — «ложно»,
— «сомнительно», в — «истинно»
Вообще говоря, мы можем рассмотреть логическую систему значений истинности, которая образует некоторую решетку
(в частности, полную решетку, полную дистрибутивную решетку и т. д.) [32, 49]. В этом случае
-значная логика может быть рассмотрена как система
где Р — множество высказываний,
— решетка и Т — отображение
которое присваивает каждому высказыванию
его значение истинности
Истинностное отображение Т должно удовлетворять следующим свойствам:
а также
если в
определена операция дополнения.
Для лингвистических переменных в качестве множества истинностных значений использовано
Таким образом, истинностное отображение запишется в виде
и аксиомы а), б), в) будут выполняться.
В [12] в качестве значений истинности для нечеткозначной логики предложено использовать нечеткие числа на [0,1] (см. гл. 5), которые тождественны нечетким множествам с выпуклыми, нормализованными и кусочно-непрерывными функциями принадлежности.
Нечеткозначная логика описывается теорией нечетких множеств типа 2, функции принадлежности которых являются нечеткими числами (см. гл. 1). Семантические правила для
вычислепия функций истинности для отрицания, конъюнкции и дизъюнкции запишутся следующим образом:
где
— нечеткое число на
— расширенные операции отрицания, минимума и максимума соответственно. Приведем определение операций для
через их функции принадлежности:
Аналогично, с помощью принципа обобщения, получаются семантические правила для других логических связок (см. табл. 6.1). Так, для связок логики
имеют место следующие формулы:
а) для импликации
б) для эквивалентности
в) для исключающего «или»
г) для тавтологии
д) для противоречия
Например, если Р «сомнительно»,
«истинно», то
(«сомнительно»), «истинно») — «истинно»;
«истинно», «сомнительно»)
«сомнительно»,
«сомнительно».
Для связок
получаются следующие семантические правила:
а) импликация
б) эквивалентность
в) исключающее
г) тавтология
д) противоречие
Например, если Р «сомнительно»,
. Как только для
то
однако в общем случае
«истинно», что совпадает с результатом для обычной импликации.
Для расширенных операций
выполняются свойства коммутативности, ассоциативности, идемпотентности, взаимной дистрибутивности, а также законы поглощения и Де Моргана [43].