§ 5.6. Методы точной интерпретации

Для решения задач формирования точного представления нечетких соответствий при моделировании стратегий управления сложными системами и задач прогнозирования при наличии нечеткой информации необходимо определять точное значение выводимой переменной по виду распределения нечеткости или выводимой функции принадлежности. Это необходимо прежде всего в задачах построения лингвистических регуляторов [36, 37, 47], в моделях функционирования биотехнических систем и т. д.

Основными видами точной интерпретации являются: полная интерпретация, минимаксная, вероятностная, комбинированная и интерпретация по максимуму функции принадлежности.

5.6.1. Полная интерпретация.

Основная идея полной интерпретации функций принадлежности, выполняемых с помощью алгоритмов, описанных ранее, заключается в определении «центра тяжести» нечеткого соответствия В.

Пусть К — множество выходов, . В этом случае точное значение для выхода определяется по формуле

где

Если являются счетными множествами, тогда

где

Очевидно, что определение по формулам (5.74) — (5.78) можно производить, используя численные методы интегрирования или метод Монте-Карло для оценки интегралов типа (5.74), в случае системы с многими выходами. Для удобно пользоваться формулами (5.76) -(5.78). В ряде важных для практики случаев можно получить аналитическое решение задачи (5.74).

5.6.2. Вероятностная интерпретация.

Идея вероятностной интерпретации заключается в том, что вместо функции принадлежности нечеткого соответствия Для определения используется характеристическая функция нечеткого соответствия При этом

где — характеристическая функция нечеткого соответствия -среза Вычисление с помощью (5.79) в общем виде является весьма громоздкой задачей. Однако существует возможность построения алгоритма, позволяющего упростить нечеткий вывод. Данный алгоритм базируется на следующем утверждении.

Утверждение 5.5. Пусть нечеткий вывод осуществляется с помощью выражения (5.57); тогда для произвольных нечетких подмножеств

где подмножества -среза для

Доказательство. Поскольку

то отношение (В-среза для В определяется из условия если

Утверждение доказано.

5.6.3. Минимаксная и комбинированная интерпретация.

В тех случаях, когда определяется с помощью минимаксной интерпретации,

При минимаксной интерпретации можно получить, что

где

При комбинировании интерпретации определяется с помощью выражения (5.81) при На практике и окончательно отбирается при настройке алгоритмов нечеткого вывода.

В частных случаях входные или выходные параметры могут быть обычными. В этом случае алгоритмы нечеткого вывода, учитывающие вид интерпретации, могут значительно упрощаться. Пусть в схеме нечетких рассуждений

тогда при вероятностной интерпретации

если

где

Авалогично определяется если

Введем обозначения подмножеств -типа -среза аналогично (5.67). При этом

где

— обратные функции для и

Следствие 5.2 (из утверждения 5.4). Пусть нечеткий вывод оцределяется выражением (5.62), тогда в случае -аппроксимации

Утверждение 5.6. Пусть нечеткие подмножества -типа; тогда если нечеткий вывод определяется выражением (5.69), то при минимаксной интерпретации

где

Доказательство. Поскольку то вследствие того, что , из утверждения 5.4 и следствия 5.2 следует, что отношение -среза для где

Очевидно, что

Утверждение доказано.

Следствие 5.3 (из утверждения 5.5). Пусть нечеткий вывод определяется выражением (5.69), тогда при минимаксной интерпретации результаты вывода не зависят от вида -функции.

5.6.4. Интерпретация по максимуму функции принадлежности.

При построении алгоритмов нечеткого вывода можно использовать интерпретацию по максимуму функций принадлежности нечеткого соответствия Это особенно удобно делать, когда

. При этом

Аналитическое решение задачи (5.84) в общем виде затруднительно. Поэтому на практике лучше использовать один из методов нелинейного программирования.

Выбор конкретного вида интерпретации зависит от функции потерь и, в общем случае, является задачей многокритериального принятия решения. В ряде случаев для оценки качества интерпретации можно воспользоваться метрикой Минковского [6].