§ 5.6. Методы точной интерпретации
Для решения задач формирования точного представления нечетких соответствий при моделировании стратегий управления сложными системами и задач прогнозирования при наличии нечеткой информации необходимо определять точное значение выводимой переменной по виду распределения нечеткости или выводимой функции принадлежности. Это необходимо прежде всего в задачах построения лингвистических регуляторов [36, 37, 47], в моделях функционирования биотехнических систем и т. д.
Основными видами точной интерпретации являются: полная интерпретация, минимаксная, вероятностная, комбинированная и интерпретация по максимуму функции принадлежности.
5.6.1. Полная интерпретация.
Основная идея полной интерпретации функций принадлежности, выполняемых с помощью алгоритмов, описанных ранее, заключается в определении «центра тяжести» нечеткого соответствия В.
Пусть К — множество выходов,
. В этом случае точное значение для
выхода
определяется по формуле
где
Если
являются счетными множествами, тогда
где
Очевидно, что определение
по формулам (5.74) — (5.78) можно производить, используя численные методы интегрирования или метод Монте-Карло для оценки интегралов типа (5.74), в случае системы с многими выходами. Для
удобно пользоваться формулами (5.76) -(5.78). В ряде важных для практики случаев можно получить аналитическое решение задачи (5.74).
5.6.2. Вероятностная интерпретация.
Идея вероятностной интерпретации заключается в том, что вместо функции принадлежности нечеткого соответствия
Для определения
используется характеристическая функция нечеткого соответствия
При этом
где
— характеристическая функция нечеткого соответствия
-среза
Вычисление
с помощью (5.79) в общем виде является весьма громоздкой задачей. Однако существует возможность построения алгоритма, позволяющего упростить нечеткий вывод. Данный алгоритм базируется на следующем утверждении.
Утверждение 5.5. Пусть нечеткий вывод осуществляется с помощью выражения (5.57); тогда для произвольных нечетких подмножеств
где
подмножества
-среза для
Доказательство. Поскольку
то отношение (В-среза для В определяется из условия
если
Утверждение доказано.
5.6.3. Минимаксная и комбинированная интерпретация.
В тех случаях, когда
определяется с помощью минимаксной интерпретации,
При минимаксной интерпретации можно получить, что
где
При комбинировании интерпретации
определяется с помощью выражения (5.81) при
На практике
и окончательно отбирается при настройке алгоритмов нечеткого вывода.
В частных случаях входные или выходные параметры могут быть обычными. В этом случае алгоритмы нечеткого вывода, учитывающие вид интерпретации, могут значительно упрощаться. Пусть в схеме нечетких рассуждений
тогда при вероятностной интерпретации
если
где
Авалогично определяется
если
Введем обозначения подмножеств
-типа
-среза аналогично (5.67). При этом
где
— обратные функции для
и
Следствие 5.2 (из утверждения 5.4). Пусть нечеткий вывод оцределяется выражением (5.62), тогда в случае
-аппроксимации
Утверждение 5.6. Пусть
нечеткие подмножества
-типа; тогда если нечеткий вывод определяется выражением (5.69), то при минимаксной интерпретации
где
Доказательство. Поскольку
то вследствие того, что
, из утверждения 5.4 и следствия 5.2 следует, что
отношение
-среза для
где
Очевидно, что
Утверждение доказано.
Следствие 5.3 (из утверждения 5.5). Пусть нечеткий вывод определяется выражением (5.69), тогда при минимаксной интерпретации результаты вывода не зависят от вида
-функции.
5.6.4. Интерпретация по максимуму функции принадлежности.
При построении алгоритмов нечеткого вывода можно использовать интерпретацию по максимуму функций принадлежности нечеткого соответствия
Это особенно удобно делать, когда
. При этом
Аналитическое решение задачи (5.84) в общем виде затруднительно. Поэтому на практике лучше использовать один из методов нелинейного программирования.
Выбор конкретного вида интерпретации зависит от функции потерь и, в общем случае, является задачей многокритериального принятия решения. В ряде случаев для оценки качества интерпретации можно воспользоваться метрикой Минковского [6].