Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ§ 1.1. Два основных подхода к формализации нечеткостиТеория нечетких множеств, развивающаяся после публикации в 1965 г. основополагающей работы Л. Заде [64], представляет собой обобщение и переосмысление важнейших направлений классической математики. У ее истоков лежат идеи и достижения многозначной логики (трехзначной логики Лукасевича, к-значной логики Поста), которая указала на возможности перехода от двух к произвольному числу значений истинности и поставила проблему оперирования понятиями с изменяющимся содержанием; теории вероятностей, которая, породив большое количество различных способов статистической обработки экспериментальных данных (например, гистограммы, функции распределения), открыла пути определения и интерпретации функции принадлежности; дискретной математики (теории матриц, теории графов, теории автоматов и т. д.), предложившей инструмент для построения моделей многомерных и многоуровневых систем, удобный при решении практических задач. Дальнейшие шаги в этом направлении связываются с созданием строгих и гибких математических методов исследования нечетко определенных объектов. При этом нечеткость образов, представлений и понятий человека вводится в формальные модели различными способами. Можно выделить следующие основные классификационные признаки способов формализации нечеткости: 1) по виду представления нечеткой субъективной оценки какой-либо величины (нечеткого множества); 2) по виду области значений функции принадлежности; 3) по виду области определения функции принадлежности; 4) по виду соответствия между областью определения и областью значений (однозначное, многозначное); 5) по признаку однородности или неоднородности области значений функции принадлежности. Первый подход к формализации нечеткости состоит в следующем. Нечеткое множество (НМ) в [64] образуется путем введения обобщенного понятия принадлежности, т. е. расширения двухэлементного множества значений характеристической «функции от полной принадлежности объекта классу к полной его непринадлежности происходит не скачком, а плавно, постепенно, причем принадлежность элемента множеству выражается числом из интервала [0, 1]. Нечеткое множество
определяется математически как совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов х универсального множества X и соответствующих степеней принадлежности
или в обозначениях [64, 4, 5]:
или
Понятие
Рис. 1.1. Виды функций принадлежности: с — субнормальная; а — амодальная; м — многомодальная; у — унимодальная; тп — точки перехода В то же время как множество предполагает наличие определенных границ принадлежности и непринадлежности, полумножество является более широким понятием, не имеющим максимальных или минимальных элементов, а следовательно, фиксированных значений принадлежности. В альтернативной теории множеств четко разграничиваются понятия множества и класса. Множество — это совокупность четко различимых элементов, которые можно перечислить, представить в виде списка. Понятие класса является более общим, чем понятие множества. Свойство объектов Основные операции над НМ из класса всех Нормальность НМ. Нечеткое множество А нормально, если верхняя граница его функции принадлежности равна единице, т. е.
Рис. 1.2. Нечеткое множество и его множества уровня Множество уровня а НМ. Множеством уровня а (
где
Например, для (1.2) и (кликните для просмотра скана) (кликните для просмотра скана) (кликните для просмотра скана)
Точка перехода НМ А — это такой элемент для которого -о и Четкое множество, ближайшее к НМ, определяется как
Выпуклость НМ. Нечеткое множество А в пространстве
Пример нечеткой функции — отображение Нринцип обобщения [4, 5, 7, 13]. Принцип обобщения как одна из основных идей теории НМ носит эвристический характер и позволяет расширить область определения исходного отображения
где
отличие от булевой алгебры, где Всякое НМ можно разложить по множествам уровня согласно теореме декомпозиции [7, 46, 47]:
где
Данное разложение лежит в основе второго способа формализации нечеткости, когда нечеткость выражается с помощью набора иерархически упорядоченных четких множеств. Следовательно, для конечного числа
со свойствами
и соответствующими операциями над ними (табл. Связь между выделенными альтернативными способами формализации нечеткости устанавливается на основе теоремы представления, согласно которой классы
Задание вероятностной меры на М обусловливает переход к теории случайных множеств [12]. В особую группу мы выделяем различные комбинированные подходы, учитывающие как нечеткость, так и стохастичность в системах управления и искусственного интеллекта. В частности, вероятностное нечеткое множество [36] определяется рандомизированной функцией принадлежности
Рис. 1.3. Нечеткая оценка (1) со случайным шумом Наряду с выражением (1.11) имеются и другие варианты формализации нечеткости данных с помощью семейства обычных множеств, например приближенные множества Пусть Два множества а В [52] предложено интересное обобщение пространства Р и отношения неразличимости R. В НМ Близким к идеям альтернативной теории множеств является недоопределенное множество, описываемое четверкой
Естественным обобщением Итак, краткий обзор ряда способов формализации нечеткости показывает, что в этом направлении развиваются два основных подхода. Первый базируется на обобщении понятия принадлежности элемента множеству, приводящему к размыванию границ множества, а в предельном случае, к появлению объекта с неопределенными границами — полумножества. Второй подход предполагает описание нечеткости с помощью иерархии — семейства упорядоченных четких множеств. Прослеживается взаимосвязь этих подходов, что указывает на существование глубокой внутренней связи проблем математической обработки нечеткой информации и построения моделей сложных, иерархических систем. Ниже в рамках первого подхода мы обсудим различные варианты задания области определения и области значений фупкции принадлежности НМ, а также соответствия между ними. Возникающее при этом разнообразие видов НМ открывает широкие перспективы их применения в моделях управления и искусственного интеллекта.
|
1 |
Оглавление
|