ГЛАВА 1. СПОСОБЫ ФОРМАЛИЗАЦИИ НЕЧЕТКОСТИ

§ 1.1. Два основных подхода к формализации нечеткости

Теория нечетких множеств, развивающаяся после публикации в 1965 г. основополагающей работы Л. Заде [64], представляет собой обобщение и переосмысление важнейших направлений классической математики. У ее истоков лежат идеи и достижения многозначной логики (трехзначной логики Лукасевича, к-значной логики Поста), которая указала на возможности перехода от двух к произвольному числу значений истинности и поставила проблему оперирования понятиями с изменяющимся содержанием; теории вероятностей, которая, породив большое количество различных способов статистической обработки экспериментальных данных (например, гистограммы, функции распределения), открыла пути определения и интерпретации функции принадлежности; дискретной математики (теории матриц, теории графов, теории автоматов и т. д.), предложившей инструмент для построения моделей многомерных и многоуровневых систем, удобный при решении практических задач.

Дальнейшие шаги в этом направлении связываются с созданием строгих и гибких математических методов исследования нечетко определенных объектов. При этом нечеткость образов, представлений и понятий человека вводится в формальные модели различными способами.

Можно выделить следующие основные классификационные признаки способов формализации нечеткости:

1) по виду представления нечеткой субъективной оценки какой-либо величины (нечеткого множества);

2) по виду области значений функции принадлежности;

3) по виду области определения функции принадлежности;

4) по виду соответствия между областью определения и областью значений (однозначное, многозначное);

5) по признаку однородности или неоднородности области значений функции принадлежности.

Первый подход к формализации нечеткости состоит в следующем. Нечеткое множество (НМ) в [64] образуется путем введения обобщенного понятия принадлежности, т. е. расширения двухэлементного множества значений характеристической «функции до континуума [0, 1]. Это означает, что переход

от полной принадлежности объекта классу к полной его непринадлежности происходит не скачком, а плавно, постепенно, причем принадлежность элемента множеству выражается числом из интервала [0, 1]. Нечеткое множество

определяется математически как совокупность упорядоченных пар, составленных из элементов х универсального множества X и соответствующих степеней принадлежности или (поскольку функция принадлежности является исчерпывающей характеристикой непосредственно в виде функции Возможные виды функций изображены на рис. 1.1. Пример записи НМ:

или в обозначениях [64, 4, 5]:

или

Понятие тесно связано с центральным понятием так называемой альтернативной теории множеств [3] — понятием полумножества.

Рис. 1.1. Виды функций принадлежности: с — субнормальная; а — амодальная; м — многомодальная; у — унимодальная; тп — точки перехода

В то же время как множество предполагает наличие определенных границ принадлежности и непринадлежности, полумножество является более широким понятием, не имеющим максимальных или минимальных элементов, а следовательно,

фиксированных значений принадлежности. В альтернативной теории множеств четко разграничиваются понятия множества и класса. Множество — это совокупность четко различимых элементов, которые можно перечислить, представить в виде списка. Понятие класса является более общим, чем понятие множества. Свойство объектов рассматриваемое как объект, определяет класс Полу множеством называется собственный класс (не множество), являющийся подклассом некоторого множества . Поскольку при определении полумножества не используется отношение принадлежности между элементом и множеством, этот математический объект является более общим, чем НМ. Но для практических применений полумножеств следует ввести функциональные ограничения на принадлежность и аппроксимировать полумножества нечеткими множествами. Способы приближения полумножеств нечеткими множествами описаны в [49—50].

Основные операции над НМ из класса всех универсального множества X представлены в табл. 1.1. Ниже приводятся наиболее важные понятия теории нечетких множеств.

Нормальность НМ. Нечеткое множество А нормально, если верхняя граница его функции принадлежности равна единице, т. е. При называется субнормальным. Нечеткое множество пусто, если Непустое субнормальное НМ можно привести к нормальному (нормализовать) по формуле

Рис. 1.2. Нечеткое множество и его множества уровня

Множество уровня а НМ. Множеством уровня а (-срезом) НМ А называется четкое подмножество универсального множества X, определяемое в виде

где (см. рис. 1.2). Например, для (1.2) и множество уровня а имеет вид . С другой стороны, есть образ интервала при обратном отображении ). Множество строгого уровня определяется в виде

Например, для (1.2) и множеством строгого уровня будет в частности, носителем НМ А (обозначаемым

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

является множество элементов для которых Понятие множества уровня является расширением понятия интервала Оно представляет собой объединение не более чем счетного числа интервалов [2]. Соответственно, алгебра интервалов есть, частный случай алгебры множеств уровня.

Точка перехода НМ А — это такой элемент для которого -о и

Четкое множество, ближайшее к НМ, определяется как

Выпуклость НМ. Нечеткое множество А в пространстве называется выпуклым нечетким множеством тогда и только тогда, когда его функция принадлежности выпукла, т. е. для каждой пары точек из X удовлетворяет неравенству

Пример нечеткой функции — отображение которое каждому ставит в соответствие со степенью Другие варианты — это функция с нечетким аргументом и функция с нечеткой областью определения. Нечеткая функция определяет нечеткую поверхность принадлежности в произвольные множества) [18].

Нринцип обобщения [4, 5, 7, 13]. Принцип обобщения как одна из основных идей теории НМ носит эвристический характер и позволяет расширить область определения исходного отображения на класс НМ, а также обобщить определения операций над НМ типа 1. на НМ типа 2 и выше. Пусть - заданное отображение, в X. Тогда образ НМ А при отображении есть НМ в Y с функцией принадлежности

где . В случае нечеткого отображения имеем

отличие от булевой алгебры, где законы исключенного третьего не выполняются: . В [28] показано, что при построении операций объединения или пересечения в надо отбросить либо законы исключенного третьего, либо свойста дистрибутивности и идемпотентности. Вышеизложенный подход является наиболее распространенным при моделировании нечетких понятий.

Всякое НМ можно разложить по множествам уровня согласно теореме декомпозиции [7, 46, 47]:

где

Данное разложение лежит в основе второго способа формализации нечеткости, когда нечеткость выражается с помощью набора иерархически упорядоченных четких множеств.

Следовательно, для конечного числа градаций рассматриваемого свойства -нечеткое множество задается через обычных множеств где Для бесконечного числа градаций имеем бесконечное семейство множеств т. е. отображения вида М: [ где любому числу (индексу) ставится в соответствие четкое подмножество множества Тогда размытость моделируется отображениями М из класса

со свойствами

и соответствующими операциями над ними (табл.

Связь между выделенными альтернативными способами формализации нечеткости устанавливается на основе теоремы представления, согласно которой классы изоморфны относительно операций пересечения и объединения (табл. 1.1). При этом любой бинарной операции в соответствует объединение пересечений различных срезов в [15]:

Задание вероятностной меры на М обусловливает переход к теории случайных множеств [12]. В особую группу мы выделяем

различные комбинированные подходы, учитывающие как нечеткость, так и стохастичность в системах управления и искусственного интеллекта. В частности, вероятностное нечеткое множество [36] определяется рандомизированной функцией принадлежности Здесь принимается во внимание случайная погрешность при экспертном оценивании функции принадлежности (рис. 1.3). Этот подход, как и случайные нечеткие множества [8], применим в частности при групповом экспертном оценивании.

Рис. 1.3. Нечеткая оценка (1) со случайным шумом

Наряду с выражением (1.11) имеются и другие варианты формализации нечеткости данных с помощью семейства обычных множеств, например приближенные множества Пусть X — множество, — отношение эквивалентности на X. Упорядоченную пару будем называть пространством приближений, отношением неразличимости в пространстве . Классы эквивалентности по отношению называются элементарными множествами в а всякое объединение элементарных множеств образует составное множество в

Пусть . Под нижним приближением множества У в пространстве будем понимать наибольшее составное множество в содержащееся в У, а под верхним приближением У в — наименьшее составное множество в , содержащее Обозначим нижнее и верхнее приближения множества в пространстве через соответственно. Произвольные два множества приближенно (снизу) равны в если и приближенно (сверху) равны в если Обозначим приближенное равенство множеств снизу и сверху в в форме соответственно.

Два множества приближенно равны в если они приближенно равны снизу и сверху, т. е. если Тогда понятие приближенного множества вводится в виде семейства приближенно равных множеств в пространстве приближений. Соответственно, множество называется нижним приближенным множеством, порожденным множеством У в пространстве множество — верхним приближенным множеством,

а приближенным множеством. Данные три типа приближенных множеств представляют собой семейства семейств обычных множеств.

В [52] предложено интересное обобщение пространства Р и отношения неразличимости R. В НМ определяется нечеткая эквивалентность о. Вводится понятие совершенно нечеткого множества как тройки , где есть функция принадлежности, а — функция неразличимости.

Близким к идеям альтернативной теории множеств является недоопределенное множество, описываемое четверкой Здесь множества суть конечные подмножества универсального множества X, причем есть множество элементов которые точно принадлежат множеству (денотату) А, а есть множество элементов которые точно не принадлежат множеству А. Натуральные числа выражают соответственно верхнюю и нижнюю оценку мощности множества А. Это определение, моделирующее неполные сведения о конкретной совокупности А элементов некоторого универсума X, неявно задает трехзначную функцию принадлежности

Естественным обобщением является переход к паре где есть непрерывная функция принадлежности элементов множеству (денотату) А, а характеризует возможность для элементов натурального ряда быть значением мощности данного множества А.

Итак, краткий обзор ряда способов формализации нечеткости показывает, что в этом направлении развиваются два основных подхода. Первый базируется на обобщении понятия принадлежности элемента множеству, приводящему к размыванию границ множества, а в предельном случае, к появлению объекта с неопределенными границами — полумножества. Второй подход предполагает описание нечеткости с помощью иерархии — семейства упорядоченных четких множеств. Прослеживается взаимосвязь этих подходов, что указывает на существование глубокой внутренней связи проблем математической обработки нечеткой информации и построения моделей сложных, иерархических систем. Ниже в рамках первого подхода мы обсудим различные варианты задания области определения и области значений фупкции принадлежности НМ, а также соответствия

между ними. Возникающее при этом разнообразие видов НМ открывает широкие перспективы их применения в моделях управления и искусственного интеллекта.