Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 4.4. Нечеткие интегралы
Определение 4.5. Нечеткий интеграл от функцпи
на множестве
по нечеткой мере
определяется как
где
Нечеткий интеграл принято также называть нечетким ожиданием или
Пусть
— множество нечетких подмножеств базового множества X. Поскольку понятие нечеткого подмножества включает в себя понятие обычного подмножества, то
является нечетким расширением
Определение 4.6. Функция множества
, определяемая в виде
для
называется расширением
на
Определение 4.7. Нечеткий интеграл от функции
на нечетком множестве
по нечеткой мере
определяется как
Для описания различных видов неопределенности в теории нечетких мер используется общее понятие «степень нечеткости». В общем случае это понятие включает в себя «степень важности», «степень уверенности» и как отдельный случай «степень принадлежности» в теории НМ. Нечеткая мера, таким образом, может интерпретироваться различными способами в зависимости от конкретного применения. Пусть необходимо оценить степень принадлежности некоторого элемента
множеству
Очевидно, что для пустого множества эта степень принадлежности равна 0, а для
равна 1, т. е. степень принадлежности для будет больше, чем для
если
Если степень принадлежности
равна
, а вместо Е
где
Предположим, что
Тогда, определяя
в виде
получаем следующее выражение для НИ:
Оба интеграла — лебегов и нечеткий — можно сравнить, используя вероятностную меру. Если
— вероятностное пространство,
есть
-измеримая функция, то согласно [27] имеем,
В теории
имеет место следующая теорема.
Теорема 4.1 [27, 30]. Пусть
— пространства с нечеткими мерами
соответственно;
Тогда если
то для
Данная теорема является аналогом теоремы Фубцнн из теории меры и называется теоремой Сугено — Фубинп.
Пусть
— монотонная последовательность
-измеримых функций, тогда
Если
— монотонно возрастающая (убывающая) последовательность
-измеримых функций и
— монотонно убывающая (возрастающая) последовательность вещественных чисел, то
На рис. 4.3 дан пример графической интерпретации
для
где
— нечеткая плотность.
Пусть
тогда борелевская а-алгебра
и нечеткая мера
индуцируются из X в Y. То есть
тогда и только тогда, когда
Таблица 4.1
Согласно условию нормировки для
-меры получаем
Значение
где
принимает величину
Для
-меры
условия нормировки можно получить
При этом для
-меры