§ 4.4. Нечеткие интегралы

Определение 4.5. Нечеткий интеграл от функцпи на множестве по нечеткой мере определяется как

где Нечеткий интеграл принято также называть нечетким ожиданием или

Пусть — множество нечетких подмножеств базового множества X. Поскольку понятие нечеткого подмножества включает в себя понятие обычного подмножества, то является нечетким расширением

Определение 4.6. Функция множества , определяемая в виде

для называется расширением на

Определение 4.7. Нечеткий интеграл от функции на нечетком множестве по нечеткой мере определяется как

Для описания различных видов неопределенности в теории нечетких мер используется общее понятие «степень нечеткости». В общем случае это понятие включает в себя «степень важности», «степень уверенности» и как отдельный случай «степень принадлежности» в теории НМ. Нечеткая мера, таким образом, может интерпретироваться различными способами в зависимости от конкретного применения. Пусть необходимо оценить степень принадлежности некоторого элемента множеству Очевидно, что для пустого множества эта степень принадлежности равна 0, а для равна 1, т. е. степень принадлежности для будет больше, чем для если Если степень принадлежности равна , а вместо Е

задано нечеткое подмножество то

Это говорит о том, что степень нечеткости суждения равна степени принадлежности нечеткому подмножеству Таким образом, понятие степени нечеткости в теории нечетких мер включает в себя понятие степени принадлежности теории НМ.

Отметим основные свойства нечетких интегралов (НИ) [27- 30]. Пусть Тогда, если , то:

Кроме того,

тогда и только тогда, когда где

Можно показать, что понятие сходно с понятием интеграла Лебега. Для этого рассмотрим разбиение множества X на непересекающиеся подмножества Пусть где — характеристическая функция обычиого множества, т. е. если если Пусть I есть мера Лебега. Интеграл Лебега от функции по множеству А определяется как

где Предположим, что Тогда, определяя в виде получаем следующее выражение для НИ:

Оба интеграла — лебегов и нечеткий — можно сравнить, используя вероятностную меру. Если — вероятностное пространство, есть -измеримая функция, то согласно [27] имеем,

В теории имеет место следующая теорема.

Теорема 4.1 [27, 30]. Пусть — пространства с нечеткими мерами соответственно; Тогда если то для

Данная теорема является аналогом теоремы Фубцнн из теории меры и называется теоремой Сугено — Фубинп.

Пусть — монотонная последовательность -измеримых функций, тогда

Если — монотонно возрастающая (убывающая) последовательность -измеримых функций и — монотонно убывающая (возрастающая) последовательность вещественных чисел, то

На рис. 4.3 дан пример графической интерпретации для где — нечеткая плотность.

Пусть тогда борелевская а-алгебра и нечеткая мера индуцируются из X в Y. То есть тогда и только тогда, когда

Пространство с нечеткой мерой интерпретируется следующим образом. Если У связано с X с помощью отображения тогда нечеткая мера на У, с помощью которой измеряется степень нечеткости в также связана с мерой нечеткости в X.

Пусть и Обозначим через семейство всех функций, эквивалентных по отношению

Рис. 4.3. Графическая интерпретация нечеткого интеграла

Здесь называется условной нечеткой мерой при условии

Пусть тогда

Условная нечеткая мера обладает следующими свойствами:

1) Для фиксированных как функция от у является -измеримой.

2) Для фиксированных является нечеткой мерой для в смысле

Если два пространства с нечеткими мерамп связаны друг с другом, то отображение нельзя определить в общем случае. Далее условную нечеткую меру будем обозначать как

В этом случае будет справедливо

Если заданы нечеткие меры то существует нечеткая условная мера такая, что

Данное уравнение соответствует байесовской формуле определения апостериорной вероятности в этом смысле которая называется апостериорной нечеткой мерой, — априорной нечеткой мерой [28, 30, 34].

В качестве примеров рассмотрим вычисления для счетных множеств в случаях и -мер.

Пример. Пусть задано пятиэлементное счетное множеств» Каждому элементу соответствуют значения нечетких плотностей из табл. 4.1.

Таблица 4.1

Согласно условию нормировки для -меры получаем

Значение где

принимает величину

Для -меры условия нормировки можно получить

При этом для -меры