Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА 6. НЕЧЕТКАЯ ЛОГИКА И ПРИБЛИЖЕННЫЕ РАССУЖДЕНИЯ§ 6.1. Специальная нечеткая логикаВ настоящем параграфе рассмотрено обобщение на нечеткий случай хорошо известной двузначной логики, в которой каждому высказыванию или формуле приписывается значение «истинно» или «ложно». В рассматриваемой ниже специальной нечеткой логике истинностное значение высказывания или формулы может принимать произвольное значение из отрезка [0, 1]. Основное внимание будет уделено обобщению хорошо известной для булевых функций задаче их канонического и минимального представления в классе дизъюнктивных и конъюнктивных нормальных форм. Подобные задачи находят широкое применение в теории переключательных схем, которые описываются такими выражениями. Пусть а) числа 0 и 1 — нечеткие формулы, б) нечеткая переменная в) если г) если д) других формул нет. Нечеткие формулы являются обобщением структуры булевых функций, так как удовлетворяют всем аксиомам последних, кроме закона о дополнении, т. е. 1, и 0. Следовательно, нечеткие формулы образуют дистрибутивную структуру с псевдодополнением (алгебра Де Моргана). Пусть Т — истинностная функция, — множество нечетких формул. Определение 6.1. Нечеткая формула называется общезначимой (противоречивой), если Приведем примеры общезначимых и противоречивых формул: а) рассмотрим формулу
Таким образом, б) рассмотрим формулу
Таким образом, Назовем литералом переменную
Рис. 6.1. Графическое изображение нечетких формул Определение 6.2. Нечеткая формула
где
где В работе [49] показано, что понятия общезначимости и противоречивости в нечеткой и обычной логике совпадают, точнее, имеет место следующая теорема. Теорема 6.1. Формула нечетко общезначима (нечетко противоречива) тогда и только тогда, когда Нечеткие формулы, рассматриваемые как отображения из Отношение А может быть расширено на
Теорема 6.2. Пусть Теперь обратимся к понятию нечеткой импликации. Хорошо известно, что в двузначной логике формула Определение 6.4. Пусть
В этом случае будем говорить, что Рассмотрим примеры нечетких импликаций:
Введем определение нечеткого первичного импликанта. Определение 6.5. Пусть
следует Таким образом, НПИ является максимальным элементом во множестве всех истинных нечетких импликант в соответствии с упорядочением, порожденным Определение 6.6. Пусть Заметим, что в двухзначной логике Ф является первичным импликантом или Мы можем теперь поставить задачу порождения всех НПИ нечеткой функции. Эта проблема связана с задачей нахождения минимальной формы для нечетких функций. Для нахождения минимальной формы нечетких функций важной является следующая характеристика элементов, неразложимых в объединение. Теорема 6.3 [40]. В структуре нечетких функций Для нечеткой функции существует и единственно ее представление в виде объединения неразложимых элементов. При поиске этой формы представления может быть использован следующий алгоритм: а) записать функцию б) элементы в в) новое выражение опять записать в г) применить законы поглощения и выбросить конъюнкты, из которых следуют другие конъюнкты; д) полученное выражение является единственным представлением Задача порождения всех нечетких первичных имшшкант и импликат нечеткой функции может быть решена с помощью следующей теоремы [49]. Теорема 6.4. Следующие утверждения истинны: а) нечеткими первичными импликантами (нечеткими первичными импликатами) дизъюнктов (конъюнктов), неразложимых в пересечение (в объединение), являются все их литералы; б) нечеткими первичными импликантами (нечеткими первичными импликатами) дизъюнктов (конъюнктов), неразложимых в пересечение (в объединение), являются все их литералы и все конъюнкции Обозначим через Теорема 6.5 [49]. Пусть конъюнкций (дизъюнкций), которые имплицируют (имплицируются) другими. Алгоритм для нахождения всех НПИ и а) заменить каждый конъюнкт на его НПИ, используя теорему 6.4; б) вычислить для в) заменить каждый г) вычислить для Алгоритм для порождения всех первичных импликант предложен в [29] и в [53]. Эти методы были подвергнуты критике в работах [20, 50]. Затем в [21] предложен метод, основанный на понятии нечеткого следствия, расширенный в [22] на случай неполностью определенных нечетких выражений. Дальнейшие модификации метода содержатся в [19, 23, 24, 28, 46]. Для этой же цели в [15] предложен другой метод, основанный на различии между простыми конъюнктами и противоречивыми конъюнктами канонической дизъюнктивной формы нечеткого выражения. Этот подход подробно исследован в [13, 47, 49]. Позднее в [48] предложен быстрый алгоритм, который находит сразу особые первичные имшшканты, т. е. те первичные импликанты, чьи дизъюнкции образуют минимальную дизъюнктивную форму для рассматриваемого нечеткого выражения. В настоящем изложении мы опирались, в основном, на [49]. Представляют также интерес алгоритмы [21, 46], основанные на понятии нечеткого следствия, приведенные ниже. Пусть Теорема 6.6. Дизъюнктивная форма нечеткого выражения 1) не существует конъюнкта, который является импликантом другого конъюнкта 2) нечеткие следствия любых двух конъюнктов либо не существуют, либо являются следствиями, по крайней мере, одного конъюнкта Аналогичная теорема предложена в [49]. Теперь можно построить следующий алгоритм порождения первичных импликант. Пусть а) сравнить каждую пару конъюнктов в б) нечеткое следствие каждых двух конъюнктов добавить к списку, если конъюнкты из следствия не имплицируют другие члены в в) вычеркнуть все конъюнкты, которые имплицируют другие. г) повторять пп. б) и в) до тех пор, пока не выполнится условие теоремы 6.6. Полученные конъюнкты будут являться всеми НПИ функции В работах [30—32] принцип резолюции [8] обобщен на случай специальной нечеткой логики. Пусть задана формула Пусть Теорема 6.7. В нечеткой логике, если некоторый дизъюнкт С является первичным логическим следствием множества дизъюнктов Имеет место следующая интересная теорема, которая утверждает, что если каждый дизъюнкт в Теорема 6.8. Пусть
и
а Полезность этой теоремы мы можем проиллюстрировать следующим простым рассуждением. Пусть имеется два множества дизъюиктов Теорема 6.7 была обобщена в [31], где доказано, что принципы семантической лок-резолюции, В гл. 1 описаны
|
1 |
Оглавление
|