Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ГЛАВА 9. НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙПрошло уже более 15 лет со времени опубликования первых работ, посвященных применению теории нечетких множеств к проблемам оптимизации и принятия решений [96, 82]. За последующий период вышло значительное число статей в этой области, что нашло свое отражение в известпой библиографии [113], а также в книгах [47, 101, 126, 133] и, особенно, в критическом обзоре [127]. В начале восьмидесятых годов изданы первые монографии, освещающие вопросы принятия решений в нечеткой обстановке [27, 40, 45, 53, 64, 124], а также ряд круппых сборников [73, 111, 112]. Среди конференций и семинаров в этой области, проводимых в СССР, выделим наиболее представительную конференцию «Модели выбора альтернатив в нечеткой среде» (Рига, 1980 и 1984 г.); ее материалы отражают современное состояние отечественных работ по принятию решения в нечеткой обстановке. Отметим, что до настоящего времени, в основном, силы исследователей были направлены на формализацию отдельных процедур и этапов процесса принятия решения и что единых моделей, включающих все этапы, практически нет. Подавляющая часть моделей принятия решения в нечетких условиях носит нормативный характер и представляет собой формализацию этапа выбора, когда множество альтернатив, критерии целей и ограничения, отношения предпочтения и пр. считаются заданными. При этом согласно предложенной в [35] и [127] классификации, существующие модели выбора в нечетких условиях можно разбить на достаточно независимые группы: по числу этапов или степени динамики (одноэтапные и могоэтапные), по числу лиц (ЛПР), принимающих решения (индивидуальные и коллективные), по числу используемых критериев (однокритериальные и многокритериальные). Наконец, по характеру описания предпочтений можно выделить модели нечеткого математического программирования и нечетких бинарных отношений альтернатив. Особый класс составляют лингвистические модели принятия решения, основанные на нечеткой логике с лингвистическими значениями истинности. § 9.1. Модели нечеткого математического программированияОбычно под задачей математического программирования понимают задачу отыскания экстремума некоторой целевой функции на допустимом множестве альтернатив. С помощью целевой функции формально представляется одно из основных свойств альтерпатив: ценпость, полезность, стоимость, качество и т. п. Нечеткость в постановке задачи математического программирования может содержаться как в описании множества альтернатив, так и в описании целевой функции. Различные формы описания исходпой информации обусловливают существование различных формулировок задач нечеткого математического программирования (НМП): а) задача достижения нечетко поставленной цели при нечетких ограничениях; б) задача НМП при нечетком множестве допустимых альтернатив; в) нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования со «смягчением» целевой функции и/или ограничений, где вместо задачи оптимизации решается задача удовлетворения цели и соответствующие неравенства для целевой функции и ограничений могут нарушаться; г) задача программирования с нечеткими коэффициентами и др. По Веллману — Заде [82, 23] задача достижения нечетко поставленной цели при нечетком ограничении решается на основе принципа слияния. Нечеткая цель 1) пересечения I (взятия минимума) нечетких множеств целей и ограничений 2) пересечения II (перемножения) нечетких множеств целей и ограничений 3) линейной комбинации нечетких множеств целей и ограничений
Отметим, что В [117] при определении нечеткого решения используется формула
откуда пересечение II получается как частный случай, когда параметр Как пример рассмотрим задачу выбора варианта проектного решения, когда цели и ограничения выражены следующим образом: G: спроектировать конструкцию, радиус С: согласно ограничениям по технологичности, должен быть «не менее 310 мм». Решение задачи сводится к интеграции этой исходной информации с помощью некоторой операции над нечеткими подмножествами
Рис. 9.1. Определение решения как пересечения нечетких целей и ограничений На практике чаще встречаются ситуации, когда цели и ограничения — нечеткие подмножества в разных пространствах альтернатив и результатов (причин и следствий) — соответственно X и Y. Пусть нечеткие цели заданы на множестве результатов нечеткого множества целен при отображении
Наиболее общим является случай, когда само отображение нечеткое, т. е. Модели решения задачи нечеткого математического программирования при нечетком множестве допустимых альтернатив предложены в работах [47, 48, 53, 74, 117, 130, 131, 134, 139— 141, 152, 156, 160]. В [74, 133, 152] нечеткая цель рассматривается как обобщенная форма заданного критерия качества, причем ее функция принадлежности вводится на основе нормализации этого (ограниченного) критерия качества с сохранением линейного порядка. Далее применяется принцип слияния, и с помощью четких множеств уровня
— сводится к семейству обычных четких задач оптимизации вида
Однако, поскольку работать с семействами множеств трудно, естественно стремиться к аппроксимации нечеткого множества четким. В [134] для оценки точности такой аппроксимации вводится чебышевская норма В [139] предлагается другой подход к решению задачи НМП с нечетким множеством допустимых альтернатив; изложены два варианта решения этой задачи. Первый вариант опирается на разложение нечеткого множества ограничений на множества уровня и представлении задачи НМП в виде семейства обычных задач оптимизации целевой функции
Таким образом, целевая функция
т. е. его функция принадлежности принимает значения, равные максимальному уровню а, для которого соответствующая альтернатива доставляет экстремум целевой функции
Этому нечеткому решению, определенному в X, соответствует нечеткое значение целевой функции
где Таким образом, если ЛПР надлежит выбрать единственную альтернативу
Здесь явно учитывается необходимость компромисса между желанием получить по возможности большее значение функции Стандартная задача математического программирования — это отыскание
где Нередко на практике точная теория оптимизации применяется к неточным моделям, где нет никаких оснований задавать коэффициенты в виде точно определенных чисел. Такое искусственное сужение априорной информации может привести к искажению конечных результатов, и во избежание этого следует вводить поля допусков (интервалы толерантности) на коэффициенты системы. Достаточно общий класс представляют такие задачи оптимизации, в которых матрица коэффициентов и вектор ограничений предполагаются лежащими в заданных множествах; при этом допустимая область, которую принято описывать неравенствами вида множеств, вложенных в заданное множество В [102] неточно известные коэффициенты моделируются с помощью нечетких чисел
Здесь
|
1 |
Оглавление
|