ГЛАВА 9. НЕЧЕТКИЕ МОДЕЛИ ОПТИМИЗАЦИИ И ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ

Прошло уже более 15 лет со времени опубликования первых работ, посвященных применению теории нечетких множеств к проблемам оптимизации и принятия решений [96, 82]. За последующий период вышло значительное число статей в этой области, что нашло свое отражение в известпой библиографии [113], а также в книгах [47, 101, 126, 133] и, особенно, в критическом обзоре [127]. В начале восьмидесятых годов изданы первые монографии, освещающие вопросы принятия решений в нечеткой обстановке [27, 40, 45, 53, 64, 124], а также ряд круппых сборников [73, 111, 112]. Среди конференций и семинаров в этой области, проводимых в СССР, выделим наиболее представительную конференцию «Модели выбора альтернатив в нечеткой среде» (Рига, 1980 и 1984 г.); ее материалы отражают современное состояние отечественных работ по принятию решения в нечеткой обстановке. Отметим, что до настоящего времени, в основном, силы исследователей были направлены на формализацию отдельных процедур и этапов процесса принятия решения и что единых моделей, включающих все этапы, практически нет.

Подавляющая часть моделей принятия решения в нечетких условиях носит нормативный характер и представляет собой формализацию этапа выбора, когда множество альтернатив, критерии целей и ограничения, отношения предпочтения и пр. считаются заданными. При этом согласно предложенной в [35] и [127] классификации, существующие модели выбора в нечетких условиях можно разбить на достаточно независимые группы: по числу этапов или степени динамики (одноэтапные и могоэтапные), по числу лиц (ЛПР), принимающих решения (индивидуальные и коллективные), по числу используемых критериев (однокритериальные и многокритериальные). Наконец, по характеру описания предпочтений можно выделить модели нечеткого математического программирования и нечетких бинарных отношений альтернатив. Особый класс составляют лингвистические модели принятия решения, основанные на нечеткой логике с лингвистическими значениями истинности.

§ 9.1. Модели нечеткого математического программирования

Обычно под задачей математического программирования понимают задачу отыскания экстремума некоторой целевой функции на допустимом множестве альтернатив. С помощью целевой функции формально представляется одно из основных свойств

альтерпатив: ценпость, полезность, стоимость, качество и т. п. Нечеткость в постановке задачи математического программирования может содержаться как в описании множества альтернатив, так и в описании целевой функции. Различные формы описания исходпой информации обусловливают существование различных формулировок задач нечеткого математического программирования (НМП): а) задача достижения нечетко поставленной цели при нечетких ограничениях; б) задача НМП при нечетком множестве допустимых альтернатив; в) нечеткий вариант стандартной задачи математического программирования со «смягчением» целевой функции и/или ограничений, где вместо задачи оптимизации решается задача удовлетворения цели и соответствующие неравенства для целевой функции и ограничений могут нарушаться; г) задача программирования с нечеткими коэффициентами и др.

По Веллману — Заде [82, 23] задача достижения нечетко поставленной цели при нечетком ограничении решается на основе принципа слияния. Нечеткая цель и нечеткое ограничение С описываются нечеткими подмножествами универсального множества альтернатив X, т. е. соответственно функциями При этом нечеткое решение определяется как нечеткое подмножество множества X, получающееся в результате слияния нечетких целей и нечетких ограничений , где — некоторая бинарная операция, вводимая в . В общем случае, когда имеется нечетких целей и нечетких ограничений, нечеткое решение записывается в виде Конкретно, нечеткое решение определяется [82] как результат операции:

1) пересечения I (взятия минимума) нечетких множеств целей и ограничений ;

2) пересечения II (перемножения) нечетких множеств целей и ограничений (см. табл. 1.1);

3) линейной комбинации нечетких множеств целей и ограничений

Отметим, что

В [117] при определении нечеткого решения используется формула

откуда пересечение II получается как частный случай, когда параметр Для учета различной значимости целей и ограничений нечеткое решение можно сформулировать не только как их выпуклую комбинацию с весовыми коэффициентами т. е. как но также в виде где — пересечение типа 1 или II нечетких множеств, а коэффициенты важности, отражающие вес в решении Рациональную шкалу важности можно получить, применяя основанную на попарных сравнениях процедуру Саати (см. гл. 10).

Как пример рассмотрим задачу выбора варианта проектного решения, когда цели и ограничения выражены следующим образом:

G: спроектировать конструкцию, радиус которой должен быть «приблизительно ,

С: согласно ограничениям по технологичности, должен быть «не менее 310 мм».

Решение задачи сводится к интеграции этой исходной информации с помощью некоторой операции над нечеткими подмножествами и С множества радиусов с последующим выбором такой альтернативы степень принадлежности которой нечеткому решению максимальна (рис. 9.1). Принципиально возможно построение бесчисленного множества операций, соответствующих слиянию целей и ограничений.

Рис. 9.1. Определение решения как пересечения нечетких целей и ограничений

На практике чаще встречаются ситуации, когда цели и ограничения — нечеткие подмножества в разных пространствах альтернатив и результатов (причин и следствий) — соответственно X и Y. Пусть нечеткие цели заданы на множестве результатов а нечеткие ограничения — на множестве альтернатив . Если известно отображение то используя понятие прообраза

нечеткого множества целен при отображении легко сводим данную задачу к предыдущей, в которой цели и ограничения находятся в одном и том же пространстве. Решение можно записать в виде

Наиболее общим является случай, когда само отображение нечеткое, т. е. или . Это означает, что каждая конкретная альтернатива может привести к нечеткому подмножеству последствий на множестве результатов У. В [50] решение этой задачи определяется в виде максимального по отношению вложенности нечеткого множества, удовлетворяющего условиям: а) допустимости решения и б) достижения поставленных целей

Модели решения задачи нечеткого математического программирования при нечетком множестве допустимых альтернатив предложены в работах [47, 48, 53, 74, 117, 130, 131, 134, 139— 141, 152, 156, 160]. В [74, 133, 152] нечеткая цель рассматривается как обобщенная форма заданного критерия качества, причем ее функция принадлежности вводится на основе нормализации этого (ограниченного) критерия качества с сохранением линейного порядка. Далее применяется принцип слияния, и с помощью четких множеств уровня для нечетких ограничений рассматриваемая задача нечеткой оптимизации — найти

— сводится к семейству обычных четких задач оптимизации вида

Однако, поскольку работать с семействами множеств трудно, естественно стремиться к аппроксимации нечеткого множества четким. В [134] для оценки точности такой аппроксимации вводится чебышевская норма и считается, что обычное множество аппроксимирует нечеткое множество с точностью т. е. если где — характеристическая функция множества А.

В [139] предлагается другой подход к решению задачи НМП с нечетким множеством допустимых альтернатив; изложены два варианта решения этой задачи. Первый вариант опирается на разложение нечеткого множества ограничений на множества

уровня и представлении задачи НМП в виде семейства обычных задач оптимизации целевой функции на множествах уровня . Но в отличие от вышеприведенной методики здесь вводится подмножество таких элементов множества где функция достигает своего максимума:

Таким образом, целевая функция максимизируется на множестве тех альтернатив, которые со степенью не меньшей а считаются допустимыми в исходной задаче Решение записывается в виде

т. е. его функция принадлежности принимает значения, равные максимальному уровню а, для которого соответствующая альтернатива доставляет экстремум целевой функции Его можно определить так же, как

Этому нечеткому решению, определенному в X, соответствует нечеткое значение целевой функции которое есть образ нечеткого множества альтернатив при отображении

где .

Таким образом, если ЛПР надлежит выбрать единственную альтернативу , то его выбор должен основываться не только на величине функции принадлежности (степени принадлежности альтернативы нечеткому множеству допустимых альтернатив С), но и на соответствующем значении целевой функции. Второй вариант решения непосредственно базируется на понятии оптимальных по Парето элементов для максимизируемой функции и нечеткого множества ограничений:

Здесь явно учитывается необходимость компромисса между желанием получить по возможности большее значение функции оценивающей результат выбора, и стремлением взять по возможности более допустимую альтернативу. Показано, что при достаточно простых условиях оба решения дают одно и то же значение целевой функции.

Стандартная задача математического программирования — это отыскание при ограничениях Нечеткий вариант этой задачи означает, что ограничения смягчаются, т. е. допускается возможность нарушения с той или иной степенью. Более того, вместо задачи максимизации можно поставить задачу достижения некоторого наперед заданного значения функции соответствующего удовлетворению исходной цели. Тогда общая задача гибкого математического программирования формулируется следующим образом: сделать при ограничениях где означает, что неравенства могут нарушаться. Согласно подходу, развиваемому в [117, 172], вводятся пороги такие, что неравенства означают сильное нарушение исходных неравенств соответственно. Функции принадлежности нечетких целей и ограничений определяются в виде:

где — функции, характеризующие степени выполнения соответствующих неравенств. Далее применяется принцип слияния целей и ограничений и для случая линейного программирования: найти при (где с — вектор коэффициентов целевой функции, — вектор ограничений, матрица коэффициентов) доказывается, что эта задача сводится к решению обычной задачи векторной оптимизации. В [136] этот вывод обобщается для функций принадлежности произвольного вида.

Нередко на практике точная теория оптимизации применяется к неточным моделям, где нет никаких оснований задавать коэффициенты в виде точно определенных чисел. Такое искусственное сужение априорной информации может привести к искажению конечных результатов, и во избежание этого следует вводить поля допусков (интервалы толерантности) на коэффициенты системы. Достаточно общий класс представляют такие задачи оптимизации, в которых матрица коэффициентов и вектор ограничений предполагаются лежащими в заданных множествах; при этом допустимая область, которую принято описывать неравенствами вида или в матричной форме выражается с помощью конечной суммы непустых выпуклых

множеств, вложенных в заданное множество Когда выпуклые нечеткие множества, А — также нечеткое множество, т. е. а операция означает сложение нечетких множеств (см. гл. 1), то, переходя к множествам сильного уровня, легко решаем задачу их представления с помощью обычных множеств с ограничениями по включению [47]. Рассмотрим вариант линейного программирования с нечеткими коэффициентами [131, 132]. Здесь при формулировании ограничений вместо чисел (коэффициентов ) используются интервалы Таким образом, учитывается, что в реальных задачах планирования требуется выбрать такое число из чтобы неравенства задавали допустимую область, а анализируемая стоимость) была по возможности близкой к (минимальная возможная для данного проекта стоимость). Степень близости удобно представить с помощью нечетких множеств с носителем где означает, что Тогда задача нечеткого линейного программирования формулируется так: найти вектор такой, что для любого и разность — мала. Если взять функцию принадлежности вида обозначить через то приходим к несложной задаче: найти при

В [102] неточно известные коэффициенты моделируются с помощью нечетких чисел -типа; задача робастного программирования принимает вид: определить при

Здесь , где С — вектор средних значений, а С и соответственно левый и правый параметры нечеткости. Из определения нечеткого ограничения видно, что исходная задача с нечеткими коэффициентами преобразуется в классическую задачу линейного программирования с ограничениями, которую можно решить обычным симплекс-методом.