§ 3.4. Связь показателя размытости с алгебраическими свойствами решетки НМ

Существование показателя размытости НМ оказывается тесно связанным со свойствами алгебры НМ Заде. Для алгебры обычных множеств показатель размытости со свойствами вырождается в тривиальный показатель, всюду равный нулю.

Для более общих алгебр такого показателя просто не существует. Первоначально укажем соотношения, существующие между произвольными положительными оценками (и определяемыми ими метриками) и показателями размытости, а затем установим связь между свойствами показателя размытости и свойствами алгебры НМ.

Положительной оценкой на решетке называется функция удовлетворяющая свойству

и условию

Положительная оценка определяет на метрику [4]:

Решетка с положительной оценкой и метрикой (3.13) называется метрической решеткой НМ.

Метрика называется симметричной, если она удовлетворяет условию

Так как в алгебре нечетких множеств выполняются законы Де Моргана:

то из (3.11), (3.13) и (3.15) получаем, что метрика является симметричной тогда и только тогда, когда она определяется симметричной оценкой, т. е. такой оценкой, которая удовлетворяет условию

Теорема 3.1 [1, 2]. В метрической решетке нечетких множеств функционалы

удовлетворяют свойствам Они попарно тождественны тогда и только тогда, когда положительная оценка симметрична.

Приведем основные моменты доказательства теоремы. Условие следует из (312) и из того факта, является заострением В, если и Условие очевидно. Условие следует из (3.11) и из соотношения

которое выполняется для всех Справедливость второй половины теоремы следует из того, что (3.19) является

полусуммой (3.17) и (3.18), а (3.11) приводит к

Теорема 3.2 [1, 2]. Если симметричная метрика, то функционал

удовлетворяет свойствам и тождествен функционалам (3.17) — (3.19), причем для любого показателя размытости, введенного на и удовлетворяющего свойствам существует единственная, согласованная с ним соотношением (3.21), симметричная метрика.

Справедливость первой половины теоремы следует из того, что любая оценка на представима в виде (3.1)

что совместно с (3.16) приводит к . Последнее соотношение совместно с (3.19) приводит к (3.21). Справедливость второй половины теоремы следует из того, что любой показатель размытости удовлетворяющий свойствам можно представить в виде (3.2). Тогда оценка

где

является положительной, удовлетворяет условию (3.16) и определяет симметричную метрику, согласованную с показателем размытости

Примером симметричной оценки на решетке НМ может служить энергия нечеткого множества [13]

которая определяет симметричную метрику

и согласованную с ней меру энтропии:

Поскольку при доказательстве теоремы 3.1 используются лишь алгебраические свойства решетки нечетких множеств которая является нормальной алгеброй Де Моргана (алгеброй Клини), так как удовлетворяет тождествам (3.15) и (3.20), то эта теорема может быть обобщена на произвольные нормальные алгебры Де Моргана т. е. дистрибутивные решетки в которых выполняются законы Де Моргана (3.15) и условие нормальности (3.20). Более того, оказывается, что меры размытости могут быть определены на произвольной алгебре Де Моргана лишь в том случае, когда она является нормальной, т. е. когда в ней выполняется условие (3.20).

Сформулируем условия, аналогичные условиям для произвольных алгебр Де Моргана Условие удобнее будет записать в виде

Теорема 3.3. На метрической алгебре Де Моргана с положительной оценкой может быть задана функция удовлетворяющая условиям тогда и только тогда, когда является нормальной алгеброй Де Моргана. Эта функция всюду на равна нулю тогда и только тогда, когда является булевой алгеброй. Функции (3.17) — (3.19), определенные на удовлетворяют условиям Они попарно тождественны тогда и только тогда, когда оценка симметрична. Оценка симметрична тогда и только тогда, когда определяемая ею метрика симметрична.

Теорема 3.2 выполняется в метрической алгебре Де Моргана лишь при некоторых дополнительных условиях на

В [39] с помощью функционалов, аналогичных (3.17) — (3.19), вводятся показатели неопределенности на алгебре «стандартной логики неопределенности». Как следует из теоремы 3.3, алгебру такой логики можно задать в виде нормальной алгебры Де Моргана. Заметим, что показатель неопределенности, определяемый условиями в частности, вида (3.8), можно задать на алгебре нечетких множеств с помощью изотонной оценки, определяемой условием: из следует

Для такого показателя неопределенности многие результаты этого раздела будут выполняться при замене в утверждениях положительной оценки на изотонную, метрики на псевдометрику и т. п.