§ 2.5. Транзитивное замыкание нечетких отношений
Большое значение в приложениях теории НО играют транзитивные отношения. Такие отношения обладают многими удобными свойствами и определяют некоторую правильную структуру множества X. Например, если отношение
в X характеризует сходство между объектами, то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность разбиения множества X на непересекающиеся классы сходства. Если же отношению в X придается смысл «предпочтения», «доминирования», «подчиненности», то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность естественного упорядочения объектов множества X, существования «наилучших», «недомйнируемых» объектов и т. п. Поэтому представляет большой интерес возможность преобразования исходного нетранзитивного отпошепия в транзитивное. Такое преобразование обеспечивает операция транзитивного замыкания НО, впервые рассмотренная в работах [48, 52].
Транзитивным замыканием отношения
называется отношение
определяемое следующим образом:
где отношения
определяются рекурсивно:
Теорема 2.2. Транзитивное замыкание
любого нечеткого отношения
транзитивно и является наименьшим транзитивным отношением, включающим
т. е.
и для любого транзитивного отношения Т такого, что
следует
Как следствие из теоремы 2.2 получаем, что
транзитивно тогда и только тогда, когда
Если множество X содержит
элементов, то имеем:
В случае, когда
рефлексивно, имеем также:
откуда следует
Весьма полезным фактом является то, что
-уровень транзитивного замыкания нечеткого отношения
совпадает с транзитивным замыканием соответствующего а-уровня:
В (2.33) для простоты предполагается, что
линейно упорядочено, т. е. для любых
выполняется либо
либо
Заметим, что при транзитивном замыкании НО в общем случае сохраняются лишь некоторые из свойств (2.13) — (2.24). Такими свойствами являются рефлексивность, симметричность, полнота
транзитивность. Подробно свойства операции транзитивного замыкания рассматриваются в работах [37—38, 48, 52].