§ 2.5. Транзитивное замыкание нечетких отношений

Большое значение в приложениях теории НО играют транзитивные отношения. Такие отношения обладают многими удобными свойствами и определяют некоторую правильную структуру множества X. Например, если отношение в X характеризует сходство между объектами, то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность разбиения множества X на непересекающиеся классы сходства. Если же отношению в X придается смысл «предпочтения», «доминирования», «подчиненности», то транзитивность такого отношения обеспечивает возможность естественного упорядочения объектов множества X, существования «наилучших», «недомйнируемых» объектов и т. п. Поэтому представляет большой интерес возможность преобразования исходного нетранзитивного отпошепия в транзитивное. Такое преобразование обеспечивает операция транзитивного замыкания НО, впервые рассмотренная в работах [48, 52].

Транзитивным замыканием отношения называется отношение определяемое следующим образом:

где отношения определяются рекурсивно:

Теорема 2.2. Транзитивное замыкание любого нечеткого отношения транзитивно и является наименьшим транзитивным отношением, включающим т. е. и для любого транзитивного отношения Т такого, что следует

Как следствие из теоремы 2.2 получаем, что транзитивно тогда и только тогда, когда

Если множество X содержит элементов, то имеем:

В случае, когда рефлексивно, имеем также:

откуда следует

Весьма полезным фактом является то, что -уровень транзитивного замыкания нечеткого отношения совпадает с транзитивным замыканием соответствующего а-уровня:

В (2.33) для простоты предполагается, что линейно упорядочено, т. е. для любых выполняется либо либо

Заметим, что при транзитивном замыкании НО в общем случае сохраняются лишь некоторые из свойств (2.13) — (2.24). Такими свойствами являются рефлексивность, симметричность, полнота транзитивность. Подробно свойства операции транзитивного замыкания рассматриваются в работах [37—38, 48, 52].