§ 5.3. Решение уравнений с нечеткими числами

Ряд задач анализа математических моделей нечетких систем предполагает необходимость решения уравнений с нечеткими числами. С практической точки зрения интересно рассмотреть уравнения с обычными математическими термами и нечеткими

математическими отношениями и уравнения с нечеткими числами и обычными математическими отношениями.

В общем случае нечеткими уравнениями называются уравнения, в которых коэффициенты и/или переменные являются нечеткими числами.

5.3.1. Уравнения с нечеткими отношениями и обычными математическими термами.

Определение 5.1. Математическим термом называется конструкция из элементов и связывающих их операций:

Определение 5.2. Если то А называется нечетким отношением, а указывает на то, с какой степенью удовлетворяет А. Примером А может быть «приблизительно равно».

Определение 5.3. Если математические термы и А нечеткое отношение, т. е. , то называется нечетким уравнением с нечетким отношением.

Теорема 5.1. Предположим, что и математические термы, А является нечетким отношением и имеет место уравнение Тогда, если а то

В дальнейшем будем обозначать

Если нечеткое отношение А а) симметрично, если аддитивно независимо относительно мультипликативно независимо относительно

Теорема 5.2. Нечеткое отношение А является аддитивно независимым тогда и только тогда, когда

Теорема 5.3. Нечеткое отношение А является мультипликативно независимым тогда и только тогда, когда

Определение 5.4. Нечетким математическим термом называется конструкция из элементов связанных операциями

В [49—51] рассматриваются примеры решения уравнений с нечеткими отношениями и обычными математическими термами на основании вышеуказанных теорем.

5.3.2. Уравнения с обычными отношениями и нечеткими математическими термами.

Широкий класс задач математического программирования в нечетких условиях и анализа нечетких

систем предполагает необходимость решения уравнений с нечеткими термами и обычными отношениями. Поскольку семейство выпуклых нормальных нечетких чисел образует только коммутативное полукольцо, то решение уравнения с нечеткими термами возможно только при использовании разложения нечетких термов по -уровням. Метод, описанный в [51], неизбежно приводит к нечетким нулям и в конечном счете к изменению степени истинности математических отношений.

Определение 5.5. Скобочной формой уравнения называется следующее разложение по а-уровням:

Пример: пусть ; тогда

Если все нормальные унимодальные числа, из которых состоят нечеткие термы имеют носители такие, что они не содержат одновременно положительных и отрицательных элементов, то будет справедливо следующее соотношение

Поскольку элементы скобочной формы и А являются обычными математическими термами и отношениями, то для скобочной формы будут справедливы соответствующие условия аддитивной и мультипликативной независимости, которые справедливы для любых обычных уравнений.

Таким образом, чтобы решить уравнение вида необходимо привести его к виду (5.49) и решить отдельно относительно Условием адекватности решения является выпуклость и нормальность (5.2).

В случае нечетких чисел уравнение с НЧ можно решить, получив соответствующую скобочную форму. При этом необходимо учитывать приближенный характер операций для нечетких чисел -типа.

Условие адекватности решения в этом случае примет вид

где — соответствующие коэффициенты нечеткости. Следует отметить, что разложение по -уровням выпуклых нечетких подмножеств дает возможность производить дальнейший анализ задач с НЧ с помощью методов интервального анализа.