§ 5.3. Решение уравнений с нечеткими числами
Ряд задач анализа математических моделей нечетких систем предполагает необходимость решения уравнений с нечеткими числами. С практической точки зрения интересно рассмотреть уравнения с обычными математическими термами и нечеткими
математическими отношениями и уравнения с нечеткими числами и обычными математическими отношениями.
В общем случае нечеткими уравнениями называются уравнения, в которых коэффициенты и/или переменные являются нечеткими числами.
5.3.1. Уравнения с нечеткими отношениями и обычными математическими термами.
Определение 5.1. Математическим термом называется конструкция из элементов
и связывающих их операций:
Определение 5.2. Если
то А называется нечетким отношением, а
указывает на то, с какой степенью
удовлетворяет А. Примером А может быть
«приблизительно равно».
Определение 5.3. Если
математические термы и А нечеткое отношение, т. е.
, то
называется нечетким уравнением с нечетким отношением.
Теорема 5.1. Предположим, что и
математические термы, А является нечетким отношением и имеет место уравнение
Тогда, если а
то
В дальнейшем
будем обозначать
Если
нечеткое отношение А а) симметрично, если
аддитивно независимо относительно
мультипликативно независимо относительно
Теорема 5.2. Нечеткое отношение А является аддитивно независимым тогда и только тогда, когда
Теорема 5.3. Нечеткое отношение А является мультипликативно независимым тогда и только тогда, когда
Определение 5.4. Нечетким математическим термом называется конструкция из элементов
связанных операциями
В [49—51] рассматриваются примеры решения уравнений с нечеткими отношениями и обычными математическими термами на основании вышеуказанных теорем.
5.3.2. Уравнения с обычными отношениями и нечеткими математическими термами.
Широкий класс задач математического программирования в нечетких условиях и анализа нечетких
систем предполагает необходимость решения уравнений с нечеткими термами и обычными отношениями. Поскольку семейство выпуклых нормальных нечетких чисел образует только коммутативное полукольцо, то решение уравнения с нечеткими термами возможно только при использовании разложения нечетких термов по
-уровням. Метод, описанный в [51], неизбежно приводит к нечетким нулям и в конечном счете к изменению степени истинности математических отношений.
Определение 5.5. Скобочной формой уравнения
называется следующее разложение по а-уровням:
Пример: пусть
; тогда
Если все нормальные унимодальные числа, из которых состоят нечеткие термы
имеют носители
такие, что они не содержат одновременно положительных и отрицательных элементов, то будет справедливо следующее соотношение
Поскольку элементы скобочной формы и А являются обычными математическими термами и отношениями, то для скобочной формы будут справедливы соответствующие условия аддитивной и мультипликативной независимости, которые справедливы для любых обычных уравнений.
Таким образом, чтобы решить уравнение вида
необходимо привести его к виду (5.49) и решить отдельно относительно
Условием адекватности решения является выпуклость и нормальность
(5.2).
В случае
нечетких чисел уравнение с НЧ можно решить, получив соответствующую скобочную форму. При этом необходимо учитывать приближенный характер операций
для нечетких чисел
-типа.
Условие адекватности решения в этом случае примет вид
где
— соответствующие коэффициенты нечеткости. Следует отметить, что разложение по
-уровням выпуклых нечетких подмножеств дает возможность производить дальнейший анализ задач с НЧ с помощью методов интервального анализа.