§ 4.2. Нечеткие меры

Рассмотрим основные свойства нечетких мер и интегралов, введенных в [27, 37], а также их содержательную связь с мерами возможности [41], используемыми в гл. 5, 6 для построения алгоритмов нечеткого вывода.

Пусть X — произвольное множество, а поле борелевских множеств (а-алгебра) для X.

Определение 4.1. Функция определяемая в виде , называется нечеткой мерой, если она удовлетворяет следующим условиям [27, 30]:

(см. скан)

Тройка называется пространством с нечеткой мерой. Для нечеткой меры в общем случае не должно выполняться условие аддитивности: Таким образом, нечеткая мера является однопараметрическим расширением вероятностной меры.

Выражение представляет собой меру, характеризующую степень нечеткости А, т. е. оценку нечеткости суждения или степень субъективной совместимости . Нетрудно увидеть, что монотонность меры влечет за собой

Для построения нечетких мер используется следующее К-пра-еило [27, 30]. Пусть Тогда

В случае будем называть выражение (4.2) условием нормировки для -мер. Очевидно, что Параметр называется параметром нормировки -меры. При имеем класс супераддитивных мер, а при получаем класс субаддитивных мер.

Легко убедиться, что если , то из (4.2) следует

Формула (4.3) определяет класс так называемых дополнений Сугено [30].

В общем случае, когда А и В — произвольные непересекающиеся подмножества множества X, т. е. выражение (4.2) приобретает вид

Если то -меру можно получить с помощью непрерывной функции удовлетворяющей следующим свойствам:

Функция аналогична функции распределения вероятности и называется нечеткой функцией распределения.

Рис. 4.1. Соотношения между нечеткими мерами [10]: 1 — нечеткие меры (исключая меру Дирака); 2- -меры, ; 3 — функции доверия; 4 — меры правдоподобия; — вероятностная мера — согласованные функции доверия (мера необходимости); 7 — мера возможности

Таким образом, нечеткую меру на можно построить

Мера в (4.5) удовлетворяет -правилу. В частности,

Далее предположим, что Мера на строится следующим образом

Если , то

Выражение (4.8) также удовлетворяет -правилу и из (4.7) следует, что

Рассмотрим несколько примеров нечетких мер (см. рис. 4.1). Меры Дирака. Примитивный класс мер Дирака определяется соотношением

где заданный элемент в X. Меры Дирака — частный случай вероятностной меры, соответствующий детерминирозанной ситуации (меры полной уверенности). Все рассматриваемые далее нечеткие меры можно разделить на два класса: супераддитивные меры и субаддитивные меры