§ 4.3. Особенности аппроксимации нечетких мер

При решении практических задач моделирования нечетких систем с использованием аппарата теории нечетких мер возникает необходимость оперирования большими объемами нечетких данных. Поэтому для упрощения вычислительных алгоритмов на ЭВМ удобно аппроксимировать нечеткие меры. Для этой цели можно использовать -функции [13-15].

Определение 4.2. Функция, обозначаемая (или ), является функцией тогда и только тогда, когда

монотонно убывает на

Пример:

Особенно удобно использовать -функции в случае х-меры Сугено.

При этом функция может быть представлена как

где а — параметр, при котором — коэффициент нечеткости. Пример функции типа, аппроксимирующей функцию распределения нечеткости, приведен на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Функция -типа, аппроксимирующая функцию распределения нечеткости

Рассмотрим особенности процедуры приближения экспериментальных функций распределения нечеткости функциями -типа. Пусть в результате формализации некоторой выборки нечетких данных получен ряд экспериментальных значений плотности распределения нечеткости которым соответствуют

Все множество X можно разбить на подынтервалы таким образом, что — длина подынтервала; .

Значение плотности распределения нечеткости в точке интервала определенное экспериментально, можно приближенно определять как . Нечеткие меры для подинтервалов А, можно вычислять, используя -аппроксимацию функции распределения нечеткости. При этом

Пусть с — множество подынтервалов множества — множество всех подмножеств множества подынтервалов. Нетрудно увидеть, что

где Нечеткой мере будет соответствовать нечеткая мера полученная из эксперимента при формализации нечеткой плотности:

Параметр Я определяется из условия нормировки:

Таким образом, задача -аппроксимации функции распределения нечеткости сводится к оценке параметров -функции по минимуму функционала качества

При большем количестве экспериментальных точек минимизация функционала (4.25) становится затруднительной. В этом случае можно воспользоваться приближенной процедурой, смысл которой заключается в использовании только части множества подмножеств подынтервалов для оценки При этом

Задачу можно упростить, если параметр а определять непосредственно по результатам эксперимента. Можно показать, что если , то функция множества при где . Таким образом, для определения а, при достаточно найти минимальное значение при котором нечеткая плотность равна 1. Если тогда . В этом случае параметр может быть легко найден при помощи любой процедуры численной минимизации.

Решение многих задач нахождения значения для случаев множества действительных чисел может выглядеть сравнительно просто, если применять аналитическую аппроксимацию нечетких плотностей, с помощью которых задаются -меры. Такая аппроксимация может быть сделана с помощью аналога -функций — функций -типа.

Определение 4,3. Функция, обозначаемая является функцией -типа тогда и только тогда, когда

причем — монотонно убывает на .

Пример:

Определение 4.4. Нечеткой плотностью -типа называется нечеткая плотность такая, что

где - правый и левый коэффициенты нечеткости, — функции -типа.

Очевидно, что если то

Можно показать, что

где Нетрудно увидеть, что

Рассмотрим особенности приближения экспериментальных -мер аналитическими выражениями с помощью функций -типа.

Аналогично вышеизложенному будем предполагать, что имеется экспериментальная последовательность значений нечеткой плотности Используя аналогичные обозначения для подынтервалов, можно предположить, что нечеткая мера на элементарном подынтервале равна значению нечеткой плотности в точке, принадлежащей этому подынтервалу, т. е. , где — нечеткая мера, задаваемая аналитически для . В случае -аппроксимации получаем

Параметр определяется как

Параметр нормировки -меры может быть найден из условия нормировки (4.23) по формуле

Оценка параметров -функций может быть проведена аналогично (4.25).

При

где

Когда минимизация функционала (4.27) затруднительна, можно воспользоваться приближенной процедурой, аналогичной (4.26). При этом

где

В простейшем случае, оценивание параметров -функций следует производить, используя функционал следующего вида:

Рассмотренные методы аппроксимации позволяют значительно упростить процедуры вычисления нечетких мер при определении значений нечетких интегралов в различных алгоритмах.

Кроме того, при использовании и -аппроксимаций можно значительно сократить объем памяти ЭВМ, необходимый для хранения информации о функциях распределения нечеткости.