§ 1.5. Нечеткие операторы

Важным вопросом использования НМ в моделях управления и искусственного интеллекта является построение соответствующих операторов агрегирования нечеткой информации и анализ их семантики. В теории НМ имеется возможность применять различные операции объединения, пересечения и дополнения множеств в зависимости от контекста, ситуации управления. Основные бинарные операции над НМ, которым соответствуют лингвистические связки и «или» сведены в табл. 1.1. Ряд исследований посвящен их экспериментальному и аксиоматическому обоснованию [22, 28, 61, 67]. В [22] показано, что для любых НМ из операторы являются единственно возможными операторами пересечения и объединения при выполнении следующих условий:

(см. скан)

(см. скан)

Позже в [34] было установлено, что для справедливости данного вывода вполне достаточно аксиом 2°, 3°, 4°, 6° и 8°. Этот же результат можно получить, оставляя лишь условия 3° и 8° и добавляя к ним условие ограниченности .

С другой стороны, ясно, что жесткие, поточечно однозначные операторы недостаточно полно отражают смысл многозначных лингвистических преобразований термов лингвистических переменных. Поэтому большой практический интерес представляет построение обобщенных нечетких операторов, т. е. параметризованных операторов пересечения, объединения, дополнения и др., позволяющих учесть гибкость, изменение степени компенсации операндов и т. д. Весьма общий и изящный подход к целенаправленному формированию нечетких операторов пересечения и объединения заключается в их определении в классе треугольных норм и конорм [55, 20, 27, 29, 39, 57].

1.5.1. Треугольные нормы.

Треугольной нормой (сокращенно -нормой) называется двухместная действительная функция удовлетворяющая следующим условиям:

(см. скан)

Пара ) образует коммутативную полугруппу с единицей.

Треугольная норма Т является архимедовой, если она непрерывна и для всех Она называется строгой, если функция Т строго возрастает по обоим аргументам, т. е. в условии 2а) нестрогое неравенство обращается в строгое. Простыми случаями треугольных норм являются операции

Для этих норм справедливо неравенство

Архимедовы -нормы следовательно, взаимодействующие операции пересечения можно представить с помощью аддитивных генераторов — одноместных, непрерывных, монотонно убывающих функций . Функция определяется с точностью до положительного множителя . Тогда где функция называется псевдообратной

Аддитивный генератор любой строгой -нормы имеет свойства . В частности, -норма порождается аддитивным генератором , а -норма аддитивным генератором Полагая можно перейти к мультипликативному представлению строгих -норм: где , причем Такая функция называется мультипликативным генератором.